上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题

上海市奉贤区2013届高三年级第二学期4月调研测试数学（理科）试题（考试时间：120分钟，满分150分）2013、4、18一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、函数xxf2sin2)(的最小正周期是_____________2、在81xx的二项展开式中，常数项是3、已知正数x、y满足xyyx，则yx的最小值是4、执行如图所示的程序框图，输出的S值为5、已知直线yt与函数()3xfx及函数()43xgx的图像分别相交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为6、用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为045，容器的高为10cm，制作该容器需要cm2的铁皮7、若实数t满足f(t)＝－t，则称t是函数f(x)的一个次不动点．设函数xxfln与反函数的所有次不动点之和为m，则m＝______8、关于x的方程022mxxRm的一个根是ni1Rn，在复平面上的一点Z对应的复数z满足1z，则nimz的取值范围是9、在极坐标系中，直线2sin()2cos42与圆的位置关系是_[来源:学科网]10、已知函数lg10xxfxabab，且221ab，则不等式0fx的解集是11、设fx是定义在R上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x，12log1fxx，则函数fx在(1,2)上的解析式是12、设正项数列na的前n项和是nS，若na和{nS}都是等差数列，且公差相等，则da113、椭圆)0(12222babyax上的任意一点M(除短轴端点除外)与短轴两个端点21,BB的连线交x轴于点N和K，则OKON的最小值是cm10045题第)6(开始k=1，S=0k≥6S=S+2k输出Sk=k+1结束是否题第)4(14、如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB＝90°，AC＝2)沿x轴滚动，设顶点A(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，当x[0,224]时y＝f(x)=_____________二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、下列命题中正确的是（）（A）函数xysin与xyarcsin互为反函数（B）函数xysin与xyarcsin都是增函数（C）函数xysin与xyarcsin都是奇函数（D）函数xysin与xyarcsin都是周期函数16、设事件A，B，已知()PA=51，()PB=31,()PAB=815，则A，B之间的关系一定为（）(A)两个任意事件(B)互斥事件(C)非互斥事件(D)对立事件17、数列{}na前n项和为nS，已知115a，且对任意正整数,mn，都有mnmnaaa，若nSa恒成立，则实数a的最小值为（）（A）14（B）34（C）43（D）418、直线2x与双曲线14:22yxC的渐近线交于BA,两点，设P为双曲线C上的任意一点，若OBbOAaOP(ORba,,为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（）（A）222ab（B）2122ba（C）222ab（D）2212ab[来源:Z§xx§k.Com]三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、长方体1111DCBAABCD中，底面ABCD是正方形，1,21ABAA，E是1DD上的一点．⑴求异面直线AC与DB1所成的角；⑵若DB1平面ACE，求三棱锥CDEA的体积；θ北CBAE)14(图第19（理）题第20题20、位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距202海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东4500450的C处，135AC．在离观测站A的正南方某处E，13132cosEAC（1）求cos；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）；21、三阶行列式xbxxD31302502，元素bRb的代数余子式为xH，0xHxP，(1)求集合P；(2)函数22log22fxaxx的定义域为,Q若,PQ求实数a的取值范围；22、已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且1()2nnnaaS．（1）求a1，a3；[来源:学.科.网]（2）求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg3nnnab，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．23、动圆C过定点F,02p，且与直线2px相切，其中0p.设圆心C的轨迹的程为0,yxF（1）求0,yxF；（2）曲线上的一定点00,yxP(0y0)，方向向量pyd,0的直线l（不过P点）与曲线交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为PAk，PBk，计算PBPAkk；（3）曲线上的两个定点000,yxP、000,yxQ，分别过点00,QP作倾斜角互补的两条直线NQMP00,分别与曲线交于NM,两点，求证直线MN的斜率为定值；参考答案一、填空题1．；2．70；3．4；4．62；5．4log3；6．2100；7．0；8．15,15；9．相离；10．2xx；11．1log21xy12．4313．a214．224248202822xxxxxf（每空2分）二、选择题15．C17．A16．B18．B三、解答题19、以D为原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系1分⑴依题意，)0,0,0(D，)0,0,1(A，)0,1,0(C，)2,1,1(1B，所以)0,1,1(AC，)2,1,1(1DB3分所以01ACDB，所以异面直线所成角为26分[来源:Zxxk.Com]⑵设),0,0(aE，则),0,1(aAE7分因为DB1平面ACE，AE平面ACE，所以AEDB19分所以01AEDB，所以021a，21a10分所以12112112131CDEAV12分[来源:学科网]20、（1）13133cos1sin,13132cos2EACEACEAC2分EACEACEACsin43sincos43cos43coscos262651313322)13132(226分（2）利用余弦定理55,125cos2222BCACABACABBC10分该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为55海里，该船的行驶速度5153155v（海里/小时）14分21、解：（1）、xxxxH1252=2522xx3分221xxP7分（2）、若,PQ则说明在1,22上至少存在一个x值，使不等式2220axx成立，8分即在1,22上至少存在一个x值，使222axx成立，9分令222,uxx则只需minua即可。11分又22221112.22uxxx当1,22x时，11,2,2x4,21,4minuu从而4minu13分由⑴知，min4,u4.a14分22、解：(1)令n=1，则a1=S1=111()2aa=0．2分；a3=2；3分（2）由1()2nnnaaS，即2nnnaS，①得11(1)2nnnaS．②②－①，得1(1)nnnana．③5分于是，21(1)nnnana．④③+④，得212nnnnanana，即212nnnaaa．7分又a1=0，a2=1，a2－a1=1，所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an=n－1．9分法二②－①，得1(1)nnnana．③5分于是，121,1211ananananannnn7分11nan所以，an=n－1．9分(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，10分于是，21333pqpq．11分所以，213()33qppq(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解．12分当p≥3，且p∈N*时，112(1)224333pppppp0，故数列{23pp}(p≥3)为递减数列14分于是2133pp≤3231330，所以此时方程(☆)无正整数解．15分综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列．16分23、（1）过点C作直线2px的垂线，垂足为N，由题意知：CNCF，即动点C到定点F与定直线2px的距离相等，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，2分其中,02pF为焦点，2px为准线，所以轨迹方程为022ppxy；4分（2）证明：设A(11,yx)、B(22,yx)过不过点P的直线方程为bxypy05分由bxypypxy022得022002byyyy6分则0212yyy，7分02020101xxyyxxyykkBPAP=pypyyypypyyy2222202202202101=020122yypyyp8分=))(()2(20201021yyyyyyyp=0.10分（3）设11,yxM，22,yxN1212xxyykMN=pypyyy22212212=212yyp（***）12分设MP的直线方程为为00xxkyy与曲线pxy22的交点11000,,,yxMyxP由)(2002xxkyypxy，0222002pxkpyykpy的两根为10,yy则kpyy210012ykpy14分同理kpyy220，得022ykpy15分代入（***）计算0021yyyy17分002yypkMN18分