全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编—

全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编力学第16届预赛题.1.（15分）一质量为M的平顶小车，以速度0v沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为m的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为。1.若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？2.若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？参考解答1.物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用，当以地面为参考系时，物块将从静止开始加速运动，而小车将做减速运动，若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度，则物块就刚好不脱落。令v表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小车为系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动量守恒，即0()MvmMv（1）从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功，即2112mvmgs（2）其中1s为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功，即22021122Mvmvmgs（3）其中2s为小车移动的距离。用l表示车顶的最小长度，则21lss（4）由以上四式，可解得202()MvlgmM（5）即车顶的长度至少应为202()MvlgmM。2．由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动量的增量，即22011()22WmMvMv（6）由（1）、（6）式可得202()mMvWmM（7）2.（20分）一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为1和2（12）。现让一长为L、密度为121()2的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体分界面的距离为34L，由静止开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，未露出液面，也未与容器相碰。参考解答1．用S表示木棍的横截面积，从静止开始到其下端到达两液体交界面为止，在这过程中，木棍受向下的重力121()2LSg和向上的浮力1LSg。由牛顿第二定律可知，其下落的加速度21112ag（1）用1t表示所需的时间，则2113142Lat（2）由此解得121213()2()Ltg（3）2．木棍下端开始进入下面液体后，用'L表示木棍在上面液体中的长度，这时木棍所受重力不变，仍为121()2LSg，但浮力变为12()LSgLLSg．当'LL时，浮力小于重力；当'0L时，浮力大于重力，可见有一个合力为零的平衡位置．用0L表示在此平衡位置时，木棍在上面液体中的长度，则此时有1210201()()2LSgLSgLLSg（4）由此可得02LL（5）即木棍的中点处于两液体交界处时，木棍处于平衡状态，取一坐标系，其原点位于交界面上，竖直方向为z轴，向上为正，则当木棍中点的坐标0z时，木棍所受合力为零．当中点坐标为z时，所受合力为121221111()()222LSgLzSgLzSgSgzkz式中21()kSg（6）这时木棍的运动方程为121()2zkzLSaza为沿z方向加速度22112()2()zgzazL22112()2()gL（7）由此可知为简谐振动，其周期1221()222()LTg（8）为了求同时在两种液体中运动的时间，先求振动的振幅A．木棍下端刚进入下面液体时，其速度11vat（9）由机械能守恒可知222121111()2222SLvkzkA（10）式中12zL为此时木棍中心距坐标原点的距离，由（1）、（3）、（9）式可求得v，再将v和（6）式中的k代人（10）式得AL（11）由此可知，从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达坐标原点所走的距离是振幅的一半，从参考圆（如图预解16-9）上可知，对应的为30，对应的时间为/12T。因此木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的时间，即棍中心从2Lz到2Lz所用的时间为12221()21232()LTtg（12）3．从木棍全部浸入下面液体开始，受力情况的分析和1中类似，只是浮力大于重力，所以做匀减速运动，加速度的数值与1a一样，其过程和1中情况相反地对称，所用时间31tt（13）4．总时间为1212321()6626()Lttttg（14）第17届预赛题.1.（20分）如图预17-8所示，在水平桌面上放有长木板C，C上右端是固定挡板P，在C上左端和中点处各放有小物块A和B，A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不计，A、B之间和B、P之间的距离皆为L。设木板C与桌面之间无摩擦，A、C之间和B、C之间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为；A、B、C（连同挡板P）的质量相同．开始时，B和C静止，A以某一初速度向右运动．试问下列情况是否能发生？要求定量求出能发生这些情况时物块A的初速度0v应满足的条件，或定量说明不能发生的理由．（1）物块A与B发生碰撞；（2）物块A与B发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与挡板P发生碰撞；（3）物块B与挡板P发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与A在木板C上再发生碰撞；（4）物块A从木板C上掉下来；（5）物块B从木板C上掉下来．参考解答1.以m表示物块A、B和木板C的质量，当物块A以初速0v向右运动时，物块A受到木板C施加的大小为mg的滑动摩擦力而减速，木板C则受到物块A施加的大小为mg的滑动摩擦力和物块B施加的大小为f的摩擦力而做加速运动，物块则因受木板C施加的摩擦力f作用而加速，设A、B、C三者的加速度分别为Aa、Ba和Ca，则由牛顿第二定律，有AmgmaCmgfmaBfma事实上在此题中，BCaa，即B、C之间无相对运动，这是因为当BCaa时，由上式可得12fmg（1）它小于最大静摩擦力mg．可见静摩擦力使物块B、木板C之间不发生相对运动。若物块A刚好与物块B不发生碰撞，则物块A运动到物块B所在处时，A与B的速度大小相等．因为物块B与木板C的速度相等，所以此时三者的速度均相同，设为1v，由动量守恒定律得013mvmv（2）在此过程中，设木板C运动的路程为1s，则物块A运动的路程为1sL，如图预解17-8所示．由动能定理有2210111()22mvmvmgsL（3）2111(2)2mvmgs（4）或者说，在此过程中整个系统动能的改变等于系统内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和（（3）与（4）式等号两边相加），即221011(3)22mvmvmgL（5）式中L就是物块A相对木板C运动的路程．解（2）、（5）式，得03vgL（6）即物块A的初速度03vgL时，A刚好不与B发生碰撞，若03vgL，则A将与B发生碰撞，故A与B发生碰撞的条件是03vgL（7）2.当物块A的初速度0v满足（7）式时，A与B将发生碰撞，设碰撞的瞬间，A、B、C三者的速度分别为Av、Bv和Cv，则有BAvvBCvv（8）在物块A、B发生碰撞的极短时间内，木板C对它们的摩擦力的冲量非常小，可忽略不计。故在碰撞过程中，A与B构成的系统的动量守恒，而木板C的速度保持不变．因为物块A、B间的碰撞是弹性的，系统的机械能守恒，又因为质量相等，由动量守恒和机械能守恒可以证明（证明从略），碰撞前后A、B交换速度，若碰撞刚结束时，A、B、C三者的速度分别为Av、Bv和Cv，则有BAvvBAvvCCvv由（8）、（9）式可知，物块A与木板C速度相等，保持相对静止，而B相对于A、C向右运动，以后发生的过程相当于第1问中所进行的延续，由物块B替换A继续向右运动。若物块B刚好与挡板P不发生碰撞，则物块B以速度Bv从板C板的中点运动到挡板P所在处时，B与C的速度相等．因A与C的速度大小是相等的，故A、B、C三者的速度相等，设此时三者的速度为2v．根据动量守恒定律有023mvmv（10）A以初速度0v开始运动，接着与B发生完全弹性碰撞，碰撞后物块A相对木板C静止，B到达P所在处这一整个过程中，先是A相对C运动的路程为L，接着是B相对C运动的路程为L，整个系统动能的改变，类似于上面第1问解答中（5）式的说法．等于系统内部相互问的滑动摩擦力做功的代数和，即222011(3)222mvmvmgL（11）解（10）、（11）两式得06vgL（12）即物块A的初速度06vgL时，A与B碰撞，但B与P刚好不发生碰撞，若06vgL，就能使B与P发生碰撞，故A与B碰撞后，物块B与挡板P发生碰撞的条件是06vgL（13）3.若物块A的初速度0v满足条件（13）式，则在A、B发生碰撞后，B将与挡板P发生碰撞，设在碰撞前瞬间，A、B、C三者的速度分别为Av、Bv和Cv，则有BACvvv（14）B与P碰撞后的瞬间，A、B、C三者的速度分别为Av、Bv和Cv，则仍类似于第2问解答中（9）的道理，有BCvvBCvvAAvv（15）由（14）、（15）式可知B与P刚碰撞后，物块A与B的速度相等，都小于木板C的速度，即BCAvvv（16）在以后的运动过程中，木板C以较大的加速度向右做减速运动，而物块A和B以相同的较小的加速度向右做加速运动，加速度的大小分别为2CagBAaag（17）加速过程将持续到或者A和B与C的速度相同，三者以相同速度013v向右做匀速运动，或者木块A从木板C上掉了下来。因此物块B与A在木板C上不可能再发生碰撞。4.若A恰好没从木板C上掉下来，即A到达C的左端时的速度变为与C相同，这时三者的速度皆相同，以3v表示，由动量守恒有303mvmv（18）从A以初速度0v在木板C的左端开始运动，经过B与P相碰，直到A刚没从木板C的左端掉下来，这一整个过程中，系统内部先是A相对C的路程为L；接着B相对C运动的路程也是L；B与P碰后直到A刚没从木板C上掉下来，A与B相对C运动的路程也皆为L．整个系统动能的改变应等于内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和，即223011(3)224mvmvmgL（19）由（18）、（19）两式，得012vgL（20）即当物块A的初速度012vgL时，A刚好不会从木板C上掉下．若012vgL，则A将从木板C上掉下，故A从C上掉下的条件是012vgL（21）5.若物块A的初速度0v满足条件（21）式，则A将从木板C上掉下来，设A刚要从木板C上掉下来时，A、B、C三者的速度分别为Av、Bv和Cv，则有BACvvv（22）这时（18）式应改写为02ACmvmvmv（23）（19）式应改写为2022111(2)2224BCmvmvmvmgL（24）当物块A从木板C上掉下来后，若物块B刚好不会从木板C上掉下，即当C的左端赶上B时，B与C的速度相等．设此速度为4v，则对B、C这一系统来说，由动量守恒定律，有42BCmvmvmv（25）在此过程中，对这一系统来说，滑动摩擦力做功的代数和为mgL，由动能定理可得2422111(2)222BCmvmvmvmgL（26）由（23）、（24）、（25）、（26）式可得04vgL（27）即当04vgL时，物块B刚好不能从木板C上掉下。若，则B将从木板C上掉下，故物块B从木板C上掉下来的条件是04vgL（28）第18届预赛题1.（25分）如图预18－5所示，一质量为M、长为L带薄挡板P的木板，静止在水平的地面上，设木板与地面间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等，皆为．质量为m的人从木板的一端由静止开始相对