全国数学竞赛2013年初中数学联赛广东分赛区初赛试卷

2013年全国初中数学联赛初赛试卷（广州市）时间：2013年3月7日一、选择题（7×4=28分）1、下列计算准确的是A、23622aaaB、3629(3)aaC、623aaaD、362()aa2、曾两度获得若贝尔（物理、化学）的居里夫人发现了镭这种放射性元素。已知1kg镭完全衰变后，放出的热量相当于375000kg煤燃烧放出的热量。估计地壳内含有100亿kg镭，这些镭完全衰变后放出的热量相当于kg煤燃烧所放出的热量。A、133.7510B、143.7510C、153.7510D、163.75103、直线y=2x－5与2(4)3yxmm（m为任意实数）的交点不可能在A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限4、实数b满足b＜3，并且有实数a使a＜b恒成立，则a的取值范围是A、小于或等于3的实数B、小于3的实数C、小于或等于－3的实数D、小于－3的实数5、一块手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4：:30时与准确时间对准，则当天上午该手表时间是10:50时，准确时间应该是A、11：10B、11:09C、11:08D、11:076、若直角三角形的斜边长为c，内切圆半径r，则内切圆的面积与三角形的面积之比是A、2rcrB、rcrC、2rcrD、22rcr7、我们将1×2×3×…n记作n！(读作n的阶乘)，如：2！=1×2,3！=1×2×3,4！=1×2×3×4，若设S=1×1!+2×2!+3×3!+……+2013×2013！，则S除以2014的余数是A、0B、1C、1007D、2013二、填空题（7×4=28分）8、函数32xyx的自变量x的取值范围是9、设12,xx是方程20xkx的两个实数根，若恰好2211222kxxxx成立，则k的值等于10、已知二函数2ybxcx的图象上有三个点（－1，1y），（1，2y）（3，3y）。若13yy，则1y、2y、c的大小关系用“＜”号连接起来是。11、经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转，也可能向右转。如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时其中两辆汽车向右转，一辆汽车向左转的概率是。12、如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的两边分别相交于点D、E，若∠A=70°，BC=2。则图中阴影部分的面积为13、如果有2013名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1…的规律报数，那么第2013名学生所报的数应该是。14、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°,AD=3，BC=5，AB=1，把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连接AE，则AE=。15、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，匀速相向而行，他们相遇时，要到达各自的终点B、A，甲、乙两人分别还需要16小时与9小时，则甲自A到B共需小时。三、解答题（12×5=60分）16、先化简，再求值：122(2)(1)22xxx其中x=2417、如图。已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别为AB、BC上的点，且BE=2，BF=1，P为EF上的一个动点，作矩形PNDM，NP的延长线交AB于点G。（1）求证：EG=2PG（2）求矩形PNDM的最大面积。18、为配合市级的“三创”工作，一所中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动。若每处安排10人，则还剩15人；托每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不小于10人，求这所中学选派的学生人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数？19、如图，已知矩形ABCD的边长AB=3，AD=2,将此矩形放在平面直角坐标系xoy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线312yx经过这两个顶点中的一个。（1）写出矩形的四个顶点A、B、C、D的坐标。（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线2yabxcx的顶点为点P；①若点P位于⊙M的外侧且在矩形ABCD的内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于点F，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是否在直线312yx上？若不在，如何平移该直线使其经过点Q?20、给定两组数，A组数为：1、2、3、……100；B组数为：21、22、23、……2100；对于A组中的数x，若有B组中的数y，使x+y也是B组中的数。，则称x为“吉祥数”，问A组中共有多少个“吉祥数”？2013年全国初中数学联赛初赛试卷参考答案一、选择题1、选D选项A23522aaa选项B36227(3)aa选项C624aaa选项D362()aa2、选C因为375000×100亿=3.75×15103、选B因为直线y=2x－5不经过第二象限，两直线的交点不可能在第二象限4、选C因为b＜3得－3＜b＜3，又a＜b恒成立，因此a＜－35、选A手表走380分钟用了准确时间400分钟，因此当手表指示10:50时，准确时间是11:106、选B设直角三角形的两直角边为a、b，则2abcr又直角三角形的面积为1()()2abcrcrr，因此内切圆面积与三角形面积之比为：2()rcrrcrr7、选D因为n×n!=(n+1)n!－n!所以S=2！－1！+3！－2！+4！－3！+……+2014！－2013！=2014！－1=2014×（2013！－1）+2013因此S除以2014的余数是2013二、填空题8、x≥－3且X≠－2由x+3≥0且x+2≠0可得x≥－3且x≠－29、－1由12121,kxxxx且2411401kk得k≤14得：22211221212()xxxxxxxx=2(1)k=1－k=22k解得：k=－1或k=12,但k=12不合题意，应舍去10、21cyy由13yy可知抛物线对称轴为x=132=1即点（1，2y）为抛物线的最低点由抛物线的性质当a＞0时，抛物线在对称轴左侧是下降的得21cyy11、1912、718由∠A=70°得∠ABC+∠ACB=110°因此∠BOD+∠COE=360°－2(∠ABC+∠ACB)=140°所以图中阴影部分的面积为：2140736018113、5由2013÷8=251……5可得第2013名学生所报的数应该是514、25过点E作EM⊥AD于M，过点D作DN⊥BC于N，可证△DEM≌△DCN(AAS)得DM=DN=AB=1，EM=CN=BC－AD=2因此AE=22222542AMEM15、28设甲乙两人从出发到相遇用了x小时则=16xVV乙甲=9xVV甲乙，可得3=4VV甲乙x=12因此甲自A到B共需28小时三、解答题16、解：原式=24122(2)(4)(4)2(4)222(4)xxxxxxxxxx当x=24时原式=－（24+4）=－217、（1）由△EPG∽△EFB可得12EGEBPGFB因此EG=2PG(2)设PG=2x，则EG=2x,AG=2+2xS矩形=(4－x)(2+2x)=225223)2x（因0≤x≤1，所以当x=1时，S矩形取得最大值1218、解：设有x个公共场所，则有（10x+15）人根据题意得：10≤（10x+15）－14(x－1)＜14解得334＜x≤344因x是整数，所以x=4,这时10x+15=55答：略19、（1）A（2,0）B（5,0）C(5,2)D(2,2)(2)①∵⊙M以AB为直径∴M(3.5,0)由于抛物线2yabxcx经过点A（2,0）和B（2，2）两点∴y=a（x－2）（x－5）即：29472yaa（x-），∴抛物线的顶点P（72，94a）∵顶点P同时在⊙M外和矩形ABCD内∴32＜94a＜2，∴89＜a＜23②设切线CF与⊙M相切于点E，交AD于点F设AF=n（n＞0）∵AD、CF、BC均为⊙M的切线∴CF=n+2DF=2－n在RT△DCF中，222DCCFDF即222(2)(2)3nn解得：n=98,∴F(2，98)当PF∥AB时，P点的纵坐标是98∴94a=98，a=12∴抛物线为y=221917528227()2xxx∴抛物线与y轴的交点Q为（0，－5）显然它不在直线312yx上将直线312yx向下平移4个单位，即可经过点Q20、设y=2b,x+y=2a,1≤b＜a≤100则x=22ab=(a+b)(a－b)≤100因（ab）与（ab）同为奇偶，且ab≥（ab）+2，以下分情况讨论：（1）若ab=1，则3≤ab≤99为奇数，ab可取3,5,7，……99共49个（2）若ab=2，则4≤ab≤50为偶数，ab可取4,6,8……50共24个其它情况下所得的x值，则可归为以上情形。所以：x共有：49+24=73个