全国高中数学联赛模拟试题8

全国高中数学联赛模拟试题（八）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设logab是一个整数，且2loglog1logabbbaa，给出下列四个结论①21abb；②logab+logba=0；③0＜a＜b＜1；④ab1=0．其中正确结论的个数是（A）1（B）2（C）3（D）42、若△ABC的三边长a、b、c满足03220222cbacbaa，则它的最大内角度数是（A）150°（B）120°（C）90°（D）60°3、定长为l（abl22）的线段AB的两端点都在双曲线12222byax（a＞0，b＞0），则AB中点M的横坐标的最小值为（A）222baal（B）222bala（C）2222baala（D）2222baala4、在复平面上，曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为（A）0（B）1（C）2（D）35、设E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G=FyxEyxyyxx22112121,,,2,2所组成的图形面积是（A）6（B）2（C）6.5（D）76、正方形纸片ABCD，沿对角线AC对折，使D在面ABC外，这时DB与面ABC所成的角一定不等于（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知24，则cossincos2cossin2cos3cossin3cos4cossin的值等于．2、2004321132112111=．3、在Rt△ABC中，AB＝AC，以C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB内，且椭圆过A、B点，则这个椭圆的离心率等于．4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有种不同的选法．5、设a、b均为正数，且存在复数z满足1izbazzz，则ab的最大值等于．6、使不等式137158knn对惟一的一个整数k成立的最大正整数n为．三、（20分）已知实数x、y满足x2+y2≤5．求f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y3x18|的最大值与最小值．四、（20分）经过点M(2,1)作抛物线y2=x的四条弦PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P2、P3、P4四点的纵坐标依次成等差数列．求证：44332211MQMPMQMPMQMPMQMP．五、（20分）n为正整数，r＞0为实数．证明：方程xn+1+rxnrn+1=0没有模为r的复数根．第二试一、（50分）设C(I)是以△ABC的内心I为圆心的一个圆，点D、E、F分别是从I出发垂直于边BC、CA和AB的直线C(I)的交点．求证：AD、BE和CF三线共点．二、（50分）非负实数x、y、z满足x2+y2+z2=1．求证：1≤xyzzxyyzx111≤2．三、（50分）对由n个A，n个B和n个C排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n=2的一个例子．ACBCBABAAACCAABBACCBA求所有的正整数n，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．参考答案第一试一、选择题：题号123456答案ABDADD二、填空题：1、33；2、20054008；3、36；4、816；5、81；6、112．三、最大值5627，最小值10327．四、证略．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、n=1．