全国高中数学联赛模拟试题6

全国高中数学联赛模拟试题（六）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、在复平面上，非零复数z1、z2在以i对应的点为圆心，1为半径的圆上，21zz的实部为零，argz1=6，则z2=（A）i2323（B）i2323（C）i2323（D）i23232、已知函数21log2xaxxfa在[1,2]上恒正，则实数a的取值范围是（A）85,21（B）,23（C）,2385,21（D）,213、已知双曲线过点M(2,4)，N(4,4)，它的一个焦点为F1(1,0)，则另一个焦点F2的轨迹方程是（A）116425122yx（y≠0）或x=1（y≠0）（B）125416122yx（x≠0）或x=1（y≠0）（C）116125422yx（y≠0）或y=1（x≠0）（D）125116422yx（x≠0）或y=1（x≠0）4、已知正实数a、b满足a+b=1，则baM2112的整数部分是（A）1（B）2（C）3（D）45、一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是（A）9米（B）10米（C）12米（D）15米6、一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n个车站（n＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是（A）12（B）13（C）14（D）15二、填空题：（每小题6分，共36分）1、长方形ABCD的长AB是宽BC的32倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD与BC重合折痕线EF、GH分别交原对角线AC于M、N，则折后截面AMN与底面AFH所成的角是．2、在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，且满足a2+b2=2c2，则角C的最大值是．3、从盛满a升（a＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n次操作后溶液的浓度是．4、已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集，对任意x≥0，规定f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}．若f(x)=3x，g(x)=52x，则f(x)*g(x)的最大值为．5、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有不同的取法．6、若实数a＞0，则满足a5a3+a=2的a值属于区间：①63,0；②663,2；③,36；④32,0．其中正确的是．三、（20分）求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积四、（20分）直线Ax+Bx+C=0（A·B·C≠0）与椭圆b2x2+a2y2=a2b2相交于P、Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ．求证：2222222BAbaCba．五、（20分）某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c（万元）且满足19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？表1各部每1万元营业额所需人数表部门人数百货部5服装部4家电部2表2各部每1万元营业额所得利润表部门利润百货部0.3万元服装部0.5万元家电部0.2万元第二试一、（50分）矩形ABCD的边AD=·AB，以AB为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于A、B的一点P，连PC、PD交AB于E、F，若AE2+BF2=AB2，试求正实数的值．二、（50分）若ai∈R+（i=1,2,…,n），niiaS1，且2≤n∈N．求证：nkkkaSa13≥nkkan1211．三、（50分）无穷数列{cn}可由如下法则定义：cn+1=|1|12cn||，而0≤c1≤1．（1）证明：仅当c1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．（2）存在多少个不同的c1值，使得数列自某项之后以T为周期（对于每个T=2,3,…）？参考答案第一试一、选择题：题号123456答案ACABCC二、填空题：1、6；2、3；3、na11；4、132；5、2500；6、③④．三、证略．四、证略．五、8，23，29或10，20，30（万元），对应40，92，58或50，80，60（人）．第二试一、22；二、证略．三、（1）证略．（2）无穷个．