全国高中数学竞赛金牌模拟试卷(一)

DCBAxyOxyOOOxyxy全国高中数学竞赛金牌模拟试卷（一）（完卷时间：120分钟；满分：150分）题号一二总分得分评卷人一、选择题1、二次函数baxy2与一次函数)(babaxy在同一个直角坐标系的图像为（）2、已知数列na满足)(,,*1221Nnaaabaaannn。nnaS是的前n项的和，则20042004Sa等于（）A、abB、abC、abD、ab3、在12)2(nx的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为（）A、1312n；B、123n；C、12321n；D、)13(2112n4、在1，2，3，4，5的排列54321,,,,aaaaa中，满足条件,,2321aaaa4543,aaaa的排列个数是（）A、10；B、12；C、14；D、16.5、直线3mxy与抛物线xmxyCmmxxyC)12(:,45:2221323:,3232mmxxyCm中至少有一条相交，则m的取值范围是（）A、283mm或B、211mm或C、RmD、以上均不正确6、若关于x的不等式062aaxx有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的a的最大值为aM、最小值为am，则aM－am等于（）A、1B、24C、25D、267、Rk，则方程组0111618491222yxyxkkxy（）A、有且仅有一组实数解B、有且仅有两组不同的实数解C、有两组解，但不一定都是实数解D、由于k为参数，以上情况均有可能出现8、锐角△ABC中，cbacABbCAaBC且,,,，分别以BC，CA，AB边上的高AD，BE，CF为折线，将三角形折成平面角均为)0(的二面角，记折叠后的四面体ABCD，ABCE，ABCF体积方便为321,,VVV，则下面结论正确的是（）A、321VVVB、321VVVC、231VVV或213VVVD、321,,VVV大小不能确定9、有九条直线，其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为2：3的两个四边形，那么这九条直线（）A、存在这样的九条直线；没有两条过同一个点；B、至少有两条过同一个点；C、至少有三条过同一个点；D、至少有四条过同一个点；10、设1)5,4,3,2,1(0,51iiiixixRx，则433221,,xxxxxxxma54,xx的最小值等于（）A、41B、31C、61D、41二、填空题11、设a为实数，集合BAaaBaaaaA,1,1,1,,,222，则BA____________________．12、)(xf是定义在),(上的偶函数，且)(),1()1(xfxfxf在)1,0(x上是增函数，则)1.8(f与)8.3(f的大小关系是____________________．13、已知向量375abab与垂直，472abab与垂直，则向量abb与的夹角是____________________．14、已知sin(2)3sinaa，且1,,(,)22kannkZ，则tan()tana的值是____________________．15、设,,,abcd为已知常数，且0bcd，要使xaxabxabcxabcxabcdxabcd为常数，则x的取值范围是____________________．16、如图，长方体ABCD－A1B1C1D1，,,ABaBCb1AAc，E为D1C1中点，若平面A1BC1与平面ACE所成二面角的平面角为，则Sin____________________．17、若x表示不超过x的最大整数（如11.31,234等等）则1111212323434200420032004＝____________________．18、斜率为1的直线与椭圆2214yx交于A、B两点，P为线段AB上的点，且2APPB.则P点的轨迹方程是____________________．19、函数)cos(sin32sinxxxy的最大值为____________________．20、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是____________________．（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线。）21、全国篮球职业联赛的某个赛季在H队与F队之间角逐。采取七局四胜制（无平局），即若有一队胜4场，则该队获胜并且比赛结束。设比赛双方获胜是等可能的。根据已往资料显示，每场比赛的组织者可获门票收入100万元。组织者在此赛季中，两队决出胜负后，门票收入不低于500万元的概率是____________________．DAECaB1cD1bC1A1B答案与提示一、选择题：1、D.提示：二次函数baxy2与一次函数图象baxy交于两点),(bo、),1(ba，由二次函数图象知，ba,同号，而由CB,中一次函数图象知ba,异号，相矛盾,故舍去CB,.又由ba知，当0ba时，1ab，此时与A中图形不符，与D中图形相符.故选D2、B提示：baaabaabaaaababaaa87654321,,,,,,,由此推得：0,543216nnnnnnnnaaaaaaaa∴0334633362004662004SSbaaaa∴baSa20042004。故选B3、D.提示：rrnrnrxCT2212121.由于x的幂指数应为整数,因此,r为奇数.记55123312112222nnnCCCS…+1212122nnnC.由于21121120121222)21(nnnnCCC…-1212122nnnC,21121120121222)21(nnnnCCC…-1212122nnnC,因此,将以上两式相减,即可得到)13(2112nS.4、D.提示：由已知条件知只可能52a或54a，且3,3,3342aaa.(1)当52a时,则34a或4当34a时,有2!=2种排列:当44a时,有3!=6种排列,即共有8种排列.同理,当52a时,也有8种排列.故应选D.5、B.提示：原命题可变为，求方程：mmxxmx4532，3)12(322mxmxmx，32332mmxxmx中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的m的值，使得所求.即变为解不等式组,0)2(44,04)1(,0)34(4)4(2222mmmmmm得123m，故符合条件的m取值范围是23m或1m，应选B.6、D；提示由5224224024222aaaaaaaa得025242402aaaa或解得]1,0()24,25[a∴26)25(1aamM；故选D7、B提示：原方程组可变为19)2(4)1()2(122yxxKy)2()1((1)表示过点）1,2(的直线,(2)表示椭圆,中心为)2,1(Q,短半轴长为2.由22)21()12(22AQ知,A点在椭圆内部,因此,过点A的直线与椭圆必有两个不同的交点.故选B.8、A提示：ADSinCDBDV611SinabCosCcCosB261aSinbcCosBCosC3aCosAbcsCSinCosACosBCo3)(2322222cbaacbsCSinCosACosBCo)(1322223222cbaasCSinCosACosBCocbaCABDabc（以上表示ABC面积）.记32222sCSinCosACosBCocbaK,同理可得,)(22232cbabKV)(22233cbaCKV由于K为相同值,因此,要比较321,,VVV大小,即比较)(2223cbaa、)(2223cbab、)(2223cbac的大小.∵ba、222cba∴)(2223cbaa-)(2223cbab=)(2)())((223322233bababacbaba=)(2))((2222233babacbaba0∴)(12223cbaa)(12223cbab,∴21VV.同理,32VV.∴321VVV,选A.9、C.提示：如图，设CD为满足要求的直线，将平行四边形分成两个梯形，易知，要使这两个梯形面积之比为2：3，只要其中位线比为2：3，即AP:PB=2：3，SRQP,,,），象P这样的点有四个（图中且适合条件的九条直线必过这四点中的一个点.根据抽屉原理知，其中必有3条直线过同一个点.故选C10、B提示：31)(31,,,,,45151412154433221xxxxxxxxxmaxxxxxxxxxmaiiABPQRS1-2取0,3142531xxxxx则31,,,54433221xxxxxxxxxma故选B二：填空题11、2,1BA.提示：由BA可得1a12、)8.3()1.8(ff.提示:∵)(xf在),(上是偶函数,且)1()1(xfxf.∴)1()1()1(xfxfxf∴)()2(xfxf∴)(xf是以2为周期的偶函数∴)1.0()1.024()1.8(fff,)2.0()2.0()2.042()8.3()8.3(fffff.又∵)(xf在(0.1)上是增函数,0.1与0.2)1,0(且2.01.0,∴)2.0()1.0(ff.∴)8.3()1.8(ff.13、0151670)5()3(22bbaababa（1）0151670)5()3(22bbaababa（2）（1）-（2）化简得221bba；（3）（1）×15+（2）×8化简得22ba；（4）22222·2)-(.bbbaababa设abb与的夹角为，则21··)(bbabbaCos∴012014、SinaCosCosaSinntaanta).().(.)(.213131)2(1)2(])2([21])2([21SinaaSinSinaaSinSinaaSinSinaaSin15、x的取值范围是dcbaxba.提示:当0dcb时,有acbadcbabadcbacba.因此,dcbaxba,这时dcbaxcbcxbaxax+cbaxdcbax=dcbaxcbaxbaxax+cbaxdcbax=dcb24.16、222222222222244accbbabaaccbbcaSin.提示：设ACD1中AC边上的高（即1D到AC距离）为h，则abaaccbaShACD22222212.又求得2222224421accbbaSEAC.设C到平面AED1的距离为d,于是,由CEDAEACDVV11得到41312222