全国初中数学联赛模拟试卷三及答案

初中数学联赛模拟试卷三一、选择题(本大题共6个小题,每小题只有一个正确答案,选对得5分,选错、不选或多选均得0分).1.设方程19991xx的两根为a、b,则代数式)11(3bba的值是().A.1998B.1999C.2000D.20012.已知方程baxx12的根是自然数,则22ba是().A.素数B.合数C.奇数D.偶数3.已知实系数方程022cbxax有二实根x1、x2,设abc,且a+b+c=0,则d=|x1-x2|的取值范围是().A.30dB.320dC.3≤d＜32D.3d324.已知x1、x2是方程0)3(2mmxx的二实根,那么22yx的最小值是().A.7B.2C.18D.非上述答案5.已知方程x2-x-1=0的根是方程x6-px2+q=0的根,则p与q的值是().A.p=3,q=8B.p=8,q=3C.p=3,q=8或p=8,q=3D.不确定6.方程:4122222)7898()7898(xxxxxxxxxxx的根是().A.0、1、7B.1、7C.无解D.非上述答案二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分)1.已知方程x2+px+q=0的一个根是另一个根的4倍,则p、q所满足的关系式是______.2.如果、是方程x2+2(k+3)x+k2+3=0的二实数,则22)1()1(的最小值是______.3.已知x1、x2是方程0132xx的二根,那么42411xx等于______.4.要使方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数,k的值应等于______.5.已知方程ax2+bx+c=0的二根之着为8,二根的算术平均数是5,则方程ax2-(6a-b)x+9a-3b+c=0的根是______.6.已知n是自然数,方程x2+n2x+(n-1)=0当n=2时,二根为a2、b2;当n=3时,二根为a3、b3;…;当n=100时,二根为a100、b100.则代数式)1)(1(122ba)1)(1(1)1)(1(110010033baba的值等于______.三、解答题1.(6分)已知1ab,且5a2+787643150a+7=07b2+787643150b+5=0求ba.2.(10分)设m是有理数,二次方程042)23(2mxx有异号二实根,其中一根为有理数,试作一方程,缺少一次项,使它的两个根各比原方程两根大同一个数.3.(10分)若方程02baxx有两个不同的实根.求证:方程01)2(234axxbaxx有四个不同的实根.4.(14分)在梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠ABC=90°,以AD为直径作圆交BC于E,求证:(1)AB·DC+BE·AE=BC·AE(2)BE·DE=CD·AE参考答案一、选择题题号123456答案CBDBBA1.解:由19991xx得0119992xx.由韦达定理得:11999abba所以)11(3bba)1(2bba2abababa12000故选C.2.分析与解原方程变得0)1(2baxx设方程的两个根是x1,x2,它们都是自然数.于是有x1+x2=-a,x1x2=1-b.由此得a=-(x1+x2),b=1-x1x2.从而a2+b2=(x1+x2)2+(1-x1x2)2=222122211xxxx=)1)(1(2221xx又x1、x2都是自然数,可知121x≥2,12x≥2,于是22ba是合数,故选B.3.解:由根与系数的关系,得acxxabxx2121,22122122124)()(xxxxxxdabaabacab)(44442222(∵a+b+c=0)]1)()[(42abab由于abc及a+b+c=0,可得a0且ab-a-b.从而abab1,于是,121ab.关于ab的二次函数43)21(1)()()(22ababababf,在121ab的取值范围内是31)()(432abab.从而3d212,故323d.故选D.4.解:因为x1、x2是方程0)3(2mmxx的二实根,所以)3(42mm1242mm)2)(6(mm≥0由此m≤-2或m≥62122122212)(xxxxxx1242mm=(m-6)(m+2)≥0由此m≤-2或m≥62122122212)(xxxxxx)3(22mm7)1(2m由此可知当m≤-2时,2221xx≥2;当m≥6时,2221xx≥18,从而知2221xx在m取值范围是m≤-2或m≥6时,最小值是2.故选B.5.解:设x1、x2是方程012xx的根.由已知条件和韦达定理,得121xx①121xx②02161qpxx③02262qpxx④解③、④关于p、q的方程组,为此③-④消去q得0)(22216261xxpxx注意到方程012xx的判别式△=(-1)2+40,知21xx.∴2221222214222214122216261)(xxxxxxxxxxxxp但3)1(212)(2212212221xxxxxx⑤故8)1(322p③+④得02)(22216261qxxpxx)]()([2162612221xxxxpq)])(()([212221424122212221xxxxxxxxp]}3))[(()({2122212222122212221xxxxxxxxp]})1(33[338{21223于是p=8,q=3.故选B.6.解:设789822xxxxu①789822xxxxv②于是原方程变形为:42222xxxvu③又由于)7898)(7898(2222xxxxxxxxuv22222xxxvu④由③、④及韦达定理,2xu、2xv是二次方程022242xxzxt的根.从而有4222xxxvu,由此得u=v=2,或x1=0.把u=v=2代入①、②,有2789822xxxx2789822xxxx此二式相减可得x2-8x+7=0,解此方程得x2=1,x3=7.经检验,0、1、7都是原方程的根.故选A.二、填空题1.解:设方程x2+px+q=0的二根为x1,x2,由已知条件及韦达定理,有214xx,pxx21,qxx21.从而得px25qx224进而有25221px.故2254pq,即02542qp.2.解:因、是方程03)3(222kxkx的二实根.因此有)3(2k①32k②)3(4)3(422kk≥0③由③可得k≥-1.将22)1()1(展开整理并将①、②代入得2)(2)1()1(22222)(22)(22)3(4)3(2)3(422kkk442822kk54)7(22k而当k≥-1时,2(k+7)2-54≥18.故22)1()1(的最小值是18.4.解:当k=0时,得x=1.即k=0符合题目要求.当0k时,设方程的二整数根为、,由韦达定理,得kkk111①kkk111②②-①得2于是有3)1)(1(因1、1均为整数,所以有3111311111311131由以上四种情况,可得如下两种情况:6或2再结合①得611k或211k.解得71k或1k综上所述,符合题目要求的k值等于0、1、71.5.解(I)设方程02cbxax的二根为,,不妨设≥.由已知52,8,可解得=9,=1.由韦达定理10ab,9ac,即b=-10a,c=9a.代入方程039)6(2cbaxbaax并整理得)0(048162aaaxax从而可得x1=12,x2=4.解(Ⅱ)令cbxaxxfy21)(cbaxbaaxxfy39)6()(22抛物线)(2xfy是由抛物线)(1xfy向右平移3个单位得来的.因而方程0)(2xf的二根可由方程0)(1xf的二根各加3而得同解1求0)(1xf的二根为9和1,从而方程0)(2xf的二根是9+3=12和1+3=4.6.解:作为一般形式,因an、bn是方程0)1(22nxnx的二根,由韦达定理得12nbanbannnn于是有1)()1)(1(nnnnnnbababa1)()1(2nn)1(nn当n=2,3,…,100时,分别有(a2-1)(b2-1)=2×3(a3-1)(b3-1)=3×4……………(a100-1)(b100-1)=100×101所以)1)(1(1)1)(1(1)1)(1(11001003322bababa1011001431321101110014131312110112120299三、解答题1.解:令m=787643150,则有5a2+ma+7=0①7b2+mb+5=0②∵1ab,∴ba1,0b由②有07)1()1(52bmb③由①、③知a、b1)1(ba是方程0752mxx的两个不同的根.由韦达定理得571ba即57ba.2.解:因为方程042)23(2mxx有异号二实根,所以042m即22m.设x1、x2是原方程的二根,其中x1为有理数.由根的定义可知042)23(121mxx整理得02)()43(1121xmxxx1和m均是有理数,因而43121xx和mx1也是有理数,而2是无理数,于是有043121xx,01mx联立解之得m=-1或m=4(422,不合题意,舍去).所以m=-1.由韦达定理,得4242),23(2121mxxxx.设新方程二根为y1、y2.依题意可知,y1=x1+k,y2=x2+k,则y1+y2=x1+x2+2k=-(3+2)+2k因所作的方程缺少一次项,故有y1+y2=0.即-(3+2)+2k=0,所以223k.所以))((2121kxkxyy22121)(kkxxxx2)223(223)23(42225427故所求的方程为02254272y,即02102742y3.证明设x1、x2是方程x2+ax+b=0的二不同实根,不妨设x1x2.由韦达定理bxxaxx2121则1)2(234axxbaxx1)()2()(212213214xxxxxxxxxx22122122)1()()1(xxxxxxxx])1][()1[(2212xxxxxx)1)(1(2212xxxxxx方程01)2(234axxbaxx化为0)1)(1(2212xxxxxx于是有下列等价于这个方程的两个方程0112xxx……①及0122xxx……②由判别式04211x,04222x知方程①与②分别有不同的二实根.方程①与②无相同的根.若①与②有相同的根x0,显然00x,则10120xxx,010220xxx.两式相减得0)(210xxx.从而应有x1=x2,同x1x2相矛盾.故①与②无相同的根.这样就说明