历年全国初中数学联赛试题1990-2005

1992全国初中数学联合竞赛试卷第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1abba的非负整数),(ba的个数是()(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.2.若0x是一元二次方程)0(02acbxax的根,则判别式acb42与平方式20)2(baxM的关系是()(A)M(B)=M(C)M;(D)不确定.3.若01132xx,则44xx的个位数字是()(A)1;(B)3;(C)5;(D)7.4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为()(A)7;(B)6;(C)5;(D)4.5.如图,正比例函数)0(aaxyxy和的图像与反比例函数)0(kxky的图像分别相交于A点和C点.若AOBRt和RtCOD的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是()(A)21SS(B)21SS(C)21SS(D)不确定答()6.在一个由88个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S,则21SS的整数部分是()(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.7.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,60A,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC,FA=AB.则AE:EB等于()(A)1:2(B)1:3(C)2:5(D)3:108.设9321,,,,xxxx均为正整数,且921xxx,220921xxx,则当54321xxxxx的值最大时,19xx的最小值是()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11.二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0x,则xxxx44211的最大值是__________.3.在ABC中,BAC和,90的平分线相交于P点，又ABPE于E点，若3,2ACBC，则EBAE.4.若ba,都是正实数，且0111baba，则33)()(baab.第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062axx的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.二、如图，在ABC中，DACAB,是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且ACEDBED2.求证：CDBD2.三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651B：105263C：612305D：316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.1992全国初中数学联合竞赛试卷答案第一试一．选择题1.(C)由01abba(1,0)(0,1).又由1,0abba(1,1).∴共有3对.2.(B)设0x是方程的根,则0020cbxax.所以202022044)2(babxxabaxacbcbxaxa4)(42020acb42.3.(D)由01132xx知0x.所以131xx,167213222xx.2167244xx,从而42xx的个位数字为9-2=7.4.(C)若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60°.由余弦定理知该边长必不大于1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于2.5.(B)设A点的坐标为(11,yx),C点的坐标为(22,yx),则kyxyx2211.∴22211121212121SCDODyxyxABOBS.6.(B)据正方形的对称性,只需考虑它的41部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为1'S，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为2'S，则841'S，4152'S.∴44.256.44158444212'1'SSSS.故21SS的整数部分是1.7.(B)设1CD,则2ABFA,易证121ABBC,90ABC,3ACFBFE.∴FG是等腰三角形BFD顶角平分线，因而也是底边BD上的中线．即BG=GD．所以BD=2BG=2DC．三、对于编码M，考虑编码A中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同．设这两位是x1，x2数位．由于B、C中该两数位上的数字均与A在这两数位上的数字不同，因此B，C中这两数位上的数字必与M中这两数位上的数字不同，于是B中与M中数字相同的数位必异于x1，x2．不妨设为x3，x4；同理C中与M中数字相同的数位只能是异于x1，x2，x3，x4的x5，x6两位．关于N也有类似的结论．这就是说，在每个数位上，A，B，C分别在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同．由此知，D中的6，0两数字必不是M，N在相应数位上的数字．于是D的3，1，2，5中只有一个数字与M在相应数位上的数字不同；与Ⅳ相比较也有类似的结果．(A)若3不对，则有610253，013256；(B)若1不对，则有360251，301256；(C)若2不对，则有312056，310652；(D)若5不对，则有310265，315206．经检验知：该信封上编码M，N或者同为610253，或者同为310265．或者一个是610253，另一个是310265．1993全国初中数学联合竞赛试卷第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612xx除以12x的余式是()(A)1;(B)-1;(C)1x;(D)1x;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是()(A)Ⅰ,Ⅱ都对(B)Ⅰ对,Ⅱ错(C)Ⅰ错,Ⅱ对.(D)Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x是实数,11xxy.下列四个结论:Ⅰ.y没有最小值;Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.其中正确的是()(A)Ⅰ(B)Ⅱ(C)Ⅲ(D)Ⅳ4.实数54321,,,,xxxxx满足方程组.;;;;52154154354324321321axxxaxxxaxxxaxxxaxxx其中54321,,,,aaaaa是实常数,且54321aaaaa,则54321,,,,xxxxx的大小顺序是()(A)54321xxxxx;(B)53124xxxxx;(C)52413xxxxx;(D)24135xxxxx.5.不等式73)1(12xxx的整数解的个解()(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于56.在ABC中,BCAOOA,,是垂心是钝角,则)cos(OCBOBC的值是()(A)22(B)22(C)23(D)21.答()7.锐角三角ABC的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,那么m:n:p等于()(A)cba1:1:1;(B)cba::(C)CBAcos:cos:cos(D)CBAsin:sin:sin.答()8.13333)919294(3可以化简成()(A))12(333;(B))12(333(C)123(D)123答()二.填空题1.当x变化时,分式15632212xxxx的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程kxx)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=____________.4.锐角三角形ABC中,30A.以BC边为直径作圆,与AB,AC分别交于D,E,连接DE,把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1,S2,则S1:S2=___________.第二试一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积HBCABCSS的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB,AC上分别取点D,E,使线段DE将ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.三.已知方程0022bcxxcbxx及分别各有两个整数根21,xx及21,xx,且,021xx021xx.(1)求证:;0,0,0,02121xxxx(2)求证:1b≤c≤1b;(3)求cb,所有可能的值.1993年全国初中数学联合竞赛试卷答案第一试一．选择题1．（A）∵1)1(166612xxxx，∴余式为1.2．（B）命题I正确，证明如下：如图，ABCDE为圆内接五边形，各内角相等.由BA，知︵BCE=︵CEA，于是︵BC=︵EA.∴EABC.同理可证EACDABDEBC.故ABCDE是正五边形.命题II不正确，反例如下：如图，ABCD为圆内接矩形，∠A=∠B=∠C=∠D=90°,CDAB，DABC，但BCAB，显然，ABCD满足命题II条件，但不是正四边形.3．（D）因为1x、1x分别表示数轴上点x到点1和点-1的距离.因此，当-1≤x≤1时，211xxy；当1x时，212211xxxy；当1x时，212211xxxy.而在-1与1之间无穷多个实数x，故有无穷多个x使y取到最小值.4．（C）给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得2141aaxx，3252aaxx，4313aaxx，5424aaxx，∵54321aaaaa，∴41xx，52xx，13xx，24xx.于是有52413xxxxx.5．（A）注意到73)1(12xxx.0)6)(1(,0)1)(2(xxxx210)1)(2(xxxx或.610)6)(1(xxx.于是原不等式的整数解是介于-1与6之间且不等于1,2的整数.即0,3,4,5四个整数.6．（A）设ABC的三条高线AD、BE、CF相交于点O.因ABC为钝角三角形，故其垂心O在ABC的外部（如图）.∵B、D、F、O四点共圆，故21.又由题设BCOA，知OAFRt≌BCFRt，∴BFOF，于是45BOF.而OCBOBC135180BOF，∴135cos)cos(OCBOBC22.7．（C）如图，设O是ABC的外心，ROCOBOA，ABOCRmcos21cos，∴ARmcos.同理BRncos，CRpcos.∴CBApnmcos:cos:cos::.8．（D）原式131323131)122()91(31212121)2(3331131331.二、填空题1．42226221012612156322222xxxxxxxxxx1)1(262x，∴当x=-1时，公式取最小值4.2．7设从左到右小盒里的球数为7,a2,a3,…,a1993,∵307432aaa，305432aaaa，∴