历年(95-10)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(4)

历年(95-10)年全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(4)证明题(9道题)1.材已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。1995年全国初中数学联赛试题证法1：如图6，连DF，则由已知，有连BD、CF，由CD＝CB，知∠FBD＝∠CBD－45°＝∠CDB－45°＝∠FDB，得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心．证法2：同证法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．连EF，在证得∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分线．2.设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．1996年全国初中数学联赛试题证作AD、BO的延长线相交于G，∵OE3．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P.问EP与PD是否相等？证明你的结论.PDOCABE2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题解：DP=PE.证明如下：因为AB是⊙O的直径，BC是切线，所以AB⊥BC.由Rt△AEP∽Rt△ABC，得ABAEBCEP.①又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.故ABAEABAEOBAEBCED221②由①，②得ED=2EP.所以DP=PE.4．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.（1）当点D在斜边AB内部时，求证：ABBDADBCBDCD222.（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由._B_A_C_D2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题证：（1）作DE⊥BC，垂足为E.由勾股定理得.)()()(22222222BCBECEBECEDEBEDECEBDCD_C_A_B_D_E所以BCBEBCCEBCBECEBCBDCD222.因为DE∥AC，所以ABBDBCBEABADBCCE,.故ABBDADABBDABADBCBDCD222.（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有AD=0，CD=AC，BD=AB.所以122222222BCBCBCABACBCBDCD，1ABABABBDAD.从而第（1）小题中的等式成立.（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立.作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则,21222222BCCEBCBECEBCBECEBCBDCD而1ABABABBDAD,所以ABBDADBCBDCD222.5.如图，半径不等的两圆相交于A，B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C，D两点.连结BC，BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点，M，N分别是弧BC和弧BD的中点.求证：（1）BPNQPMQB；（2）△KPM∽△NQK2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题NMKQPDCBAABCDE6．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．2006年全国初中数学竞赛试题证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是△KPE∽△KAP，所以KPKEKAKP，即KAKEKP2．由切割线定理得KAKEKB2所以KBKP．因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是ACKPCEPE故ACKBCEPE，即PE·AC=CE·KB．7．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为，则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以．在Rt△和Rt△中，由射影定理得，．两式相减可得，又，于是有，即，所以，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形的中位线，于是有，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．8．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足．若，的延长线相交于点，△的外接圆与△的外接圆的另一个交点为点，连接PA，PB，PC，PD．求证：（1）；（2）△∽△．“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛,EF90ACBADBABCABD22PAACAEAB22PBBDBFAB22PAPBABAEBF22()()PAPBPAPBPAPBABPAPBAEBFPAPBPAAEPBBFPEPFCDFEMPABDEADCFBCCDFEGDEGCFGPADPDBCPCPABPDC证明：（1）连接PE，PF，PG，因为，所以．又因为，所以△∽△，于是有，从而△∽△，所以．又已知，所以，．（2）由于，结合（1）知，△∽△，从而有，所以，因此△∽△．9．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：tanEFPADBC．“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径PDGPEGPDCPEFPCGPFGPDCPEF,PDPECPDFPEPCPFPDEPCFPDDEPCCFDEADCFBCADPDBCPCPDAPGEPCBPDAPCB,PAPDPBPCDPACPBAPBDPCPABPDC（第12B题）（第12A题）所以,ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线连接AE，AF，则AEFABCACBAFD，所以，△ABC∽△AEF.作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得EFAHBCAP，从而EFPDBCAP，所以tanPDEFPADAPBC.（第12B题）