历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(2)填空题(26道题)1.以线段AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆周上的点,且OC2=AC·BC,则∠CAB=______.1995年全国初中数学联赛试题答案:15O详解:与AB2=AB2+AC2②联立,可推出而式①、③表明,AB、AC是二次方程改为求∠CAB之后,思路更宽一些.如,由2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a,则点N到边BC的距离等于______.1996年全国初中数学联赛试题答案:32a3.如图,将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB'C'D'的位置,则这两个正方形重叠部分的面积是______.1996年全国初中数学联赛试题答案:2-34、在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,那么PE+PF=___________。1998年全国数学联赛试卷答案:60/13详解:如图,过A作AG⊥BD于G,∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”.∴PE+PF=AG.∵AD=12,AB=5,∴BD=13.5、已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。1998年全国数学联赛试卷答案:49a+b详解:当圆环为3个时,链长为当圆环为50个时,链长为6.设有一个边长为1的正三角形,记作A1(如图3),将A1的每条边三等分,在中间的线段上向形外作正三角形,去掉中间的线段后所得到的图形记作A2(如图4);将A2的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A3(如图5);再将A3的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A4,那么A4的周长是.1999年全国初中数学竞赛答案:7、如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8,BC=6,∠BCD=45°,∠BAD=120°,则梯形ABCD的面积等于________。2000全国初中数学竞赛试题答案::66+6详解:作AE、BF垂直于DC,垂足分别为E、F,由BC=6,∠BCD=45°,得AE=BF=FC=6。由∠BAD=120°,得∠DAE=30°,因为AE=6得DE=2,AB=EF=8,DC=2+8+6=14+2,∴。8、如图,工地上竖立着两根电线杆AB、CD,它们相距15米,分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处,向两侧地面上的E、D;B、F点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。2000全国初中数学竞赛试题答案::2.4米详解:作PQ⊥BD于Q,设BQ=米,QD=米,PQ=米,由AB∥PQ∥CD,得及,两式相加得,由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。(注:由上述解法知,AB、CD之间相距多远,与题目结论无关。)9.如图所示,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD与地面成45º,∠A=60ºCD=4m,BC=2264m,则电线杆AB的长为_______m.EADBC2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题答案:26.详解:如图,延长AD交地面于E,过D作DF⊥CE于F.因为∠DCF=45°,∠A=60°,CD=4m,所以CF=DF=22m,EF=DFtan60°=62(m).因为3330tanBEAB,所以2633BEAB(m)_A_B_E_C_D_F10.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,60BAD,则EDC(度).2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题答案:30°详解:设2CAD,由AB=AC知60)260180(21B,6060180BADB,由AD=AE知,90ADE,所以30180ADBADEEDC.11.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC(BCAD),90D,BC=CD=12,45ABE,若AE=10,则CE的长为.2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题答案:4或6详解:延长DA至M,使BM⊥BE.过B作BG⊥AM,G为垂足.易知四边形BCDG为正方形,所以BC=BG.又GBMCBE,∴Rt△BEC≌Rt△BMG.∴BM=BE,45ABMABE,∴△ABE≌△ABM,AM=AE=10.设CE=x,则AG=x10,AD=xx2)10(12,DE=x12.在Rt△ADE中,222DEADAE,∴22)12()2(100xx,即024102xx,解之,得41x,62x.故CE的长为4或6.12.在一个圆形时钟的表面,OA表示秒针,OB表示分针(O为两针的旋转中心).若现在时间恰好是12点整,则经过____秒钟后,△OAB的面积第一次达到最大.2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题答案:15155913.已知D,E分别是△ABC的边BC,CA上的点,且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2.连结AD和BE,它们相交于点P.过点P分别作PQ∥CA,PR∥CB,它们分别与边AB交于点Q,R,则△PQR的面积与△ABC的的面积之比为____.2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题答案:400/108914.如图,面积为cba的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c为整数,且b不能被任何质数的平方整除,则bca的值等于.2006年全国初中数学竞赛试题答案:320.详解:设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则342m,由△ADG∽△ABC,可得mxmmx2323,解得mx)332(于是48328)332(222mx,由题意,28a,3b,48c,所以320bca.15.如图,在直角三角形ABC中,,CA=4.点P是半圆弧AC的中点,连接BP,线段BP把图形APCB分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值是.“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛答案:4.详解:如图,设AC与BP相交于点D,点D关于圆心O的对称点记为点E,线段BP把图形APCB分成两部分,这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积,即△BOP面积的两倍.而.因此,这两部分面积之差的绝对值是4.16.如图,,则n=.“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛答案:6.详解:如图,设AF与BG相交于点Q,则,于是90ACB1122222BPOSPOCO90ABCDEFGnAQGADGABCDEFGBCEFAQGBCEFBQF.所以,n=6.17.按如图所示,把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分,则中间小正方形(阴影部分)的周长为。2007年浙江省初中数学竞赛试题答案:20218.在锐角三角形ABC中,∠A=50°,AB>BC,则∠B的取值范围是。2007年浙江省初中数学竞赛试题54069019.设正△ABC的边长为a,将△ABC绕它的中心(正三三角形外接圆的圆心)旋转60°得到对应的△A′B′C′,则A,B′两点间的距离等于。2007年浙江省初中数学竞赛试题20.如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,MF∥AD,则FC的长为______.“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题答案:921.△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC,分别与AB,AC相交于点D,E,则DE的长为______.“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题答案:163;22.如图,正方形ABCD的边长为1,为BD所在直线上的两点,且5AM,135MAN,则四边形AMCN的面积为______2008年全国初中数学联合竞赛试题答案:5/2详解:设正方形的中心为O,连AO,则AOBD,22AOOB,2222232(5)()22MOAMAO,∴2MBMOOB.又135ABMNDA,13590NADMANDABMABMAB45MABAMB,所以△ADN∽△MBA,故ADDNMBBA,从而12122ADDNBAMB.根据对称性可知,四边形的面积11225222(22)22222MANSSMNAO△.23.设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n,则四边形DECF的面积为______.“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题答案:2mn24.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则AHAB的值为.“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题,MNABCDAMCN答案:1/3详解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF.由题设知13ACAD,13ABAE,在△FHA和△EFA中,90EFAFHA,FAHEAF所以Rt△FHA∽Rt△EFA,AHAFAFAE.而AFAB,所以AHAB13.25.如图,在△ABC中,CD是高,CE为ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于.“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题答案:6027.详解:如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25.故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且90ACB.作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由1452ECFACB,得CF=x,于是BF=20-x.由于EF∥AC,所以EFBFACBC,即201520xx,解得607x.所以60227CEx.26.如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD=CF,则AEAD.“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题答案:215详解:见题图,设,FCmAFn.因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以2ABAFAC.又因为FC=DC=AB,所以2()mnnm,即2()10nnmm,解得512nm,或512nm(舍去).又Rt△AFE∽Rt△CFB,所以AEAEAFnADBCFCm512,即AEAD=512.