历年(95-10)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(1)

历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(1)选择题(30道题)1.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62πB．63πC．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案:D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2＝252＋602＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132＝392＋522＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2.设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[]A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案:B详解1:不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2:若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[]1996年全国初中数学联赛试题答案:B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案:A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[]A．4个B．8个C．12个D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案:C6.在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案:C详解:连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11B．12C．13D．141999年全国初中数学竞赛答案:C8．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）．A．30B．36C．72D．1251999年全国初中数学竞赛答案:B9．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（）．A．2B．3C．4D．51999年全国初中数学竞赛答案:D10.设a，b，c分别是△ABC的三边的长，且cbababa，则它的内角∠A、∠B的关系是（）。（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。2000全国初中数学竞赛试题答案:B详解:由cbababa得cabba，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝a+c，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。11.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1,C1面积为S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1则S与S1的大小关系一定是（）。（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。2000全国初中数学竞赛试题答案:D详解:分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然，即S＞S1；②设，则，S＝10，，则S1＝×100＞10，即S＜S1；③设，则，S＝10，，则，S1＝10，即S＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。12．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）.(A)360°(B)450°(C)540°(D)720°2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题答案:．C详解:如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，而∠BMN+∠FNM=∠D＋180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.13．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（）.(A)2个(B)3个(C)4个(D)6个2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题答案:D详解:显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。（1）若AB=9，当CD=x时，222)51(9x，53x；当CD=5时，222)1(59x，1142x；当CD=1时，222)5(19x，554x.（2）若AB=x，当CD=9时，222)51(9x，133x；当CD=5时，222)91(5x，55x；当CD=1时，222)95(1x，197x.故x可取值的个数为6个.14．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1:2.若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）.（A）6（B）8(C）10（D）122004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题答案:（B）详解:由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以41322CABCDESSCACD，又由题设知21FAFD，所以31ADFD，ACACADFD41433131，故DCFD，于是41212CFGCDESS，8CFGS.因此，结论（B）是正确的.15.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6.将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（）A.2B.4C.6D.82005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题答案:A16.已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点.若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题答案:C17．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线2xy上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）（A）h1（B）h=1（C）1h2（D）h22006年全国初中数学竞赛试题FABCDEEABCDDCBA答案:B．详解:设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c||a|），则点B的坐标为（－a，a2），由勾股定理，得22222)()(acacAC，22222)()(acacBC，222ABBCAC所以22222)(caca．由于22ca，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h=a2－c2=1故选B．18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则QAQC的值为（）（A）132（B）32（C）23（D）232006年全国初中数学竞赛试题答案:D．详解:如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m，QA=r－m．（第5题图）ABCDOOQP在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．即(r－m)(r＋m)=m·QD，所以QD=mmr22．连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，即22222mrmmr，解得rm33所以，231313mrmrQAQC故选D．19．已知△为锐角三角形，⊙经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙的半径与△的外接圆的半径相等，则⊙一定经过△的（）．（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛答案:（B）．详解:如图，连接BE，因为△为锐角三角形，所以，均为锐角．又因为⊙的半径与△的外接圆的半径相等，且为两圆的公共弦，所以．于是，．若△的外心为，则，所以，⊙一定过△的外心．故选（B）．ABCOOADEOABCABCBACABEOADEDEBACABE2BECBACABEBACABC1O12BOCBACOABCO．如图，AB是半圆的直径，弦AD，BC相交于P，已知∠DPB＝60°，D是弧BC的中点，则tan∠ADC等于（）A．12B．2C．3D．332007年浙江省初中数学竞赛试题答案:D21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是角平分线，则△DBC的面积与△ABC的面积的比值是（）A．522B．523C．352D．3532007年浙江省初中数学竞赛试题答案:CDCBA22．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有（）（A）6条（B）8条（C）10条（D）12“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题答案:B23．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）（A）52a（B）1（C）32（D）a“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题答案:B24．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若6AB，5BC，3EF，则线段BE的长为（）)(A185.)(B4.)(C215.)(D245.2008年全国初中数学联合竞赛试题答案:D.详解:因为，，为三角形的三条高，易知,,,BCEF四点共圆，于是△AEF∽△，故35AFEFACBC，即3cos5BAC，所以4sin5BAC.在Rt△ABE中，424sin655BEABBAC.故选.ADBECFABCABCD25．在△中，12ABC，132ACB，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点,MN分别在直线AC和直线AB上，则（）BMCN.BMCN.BMCN.BM和CN的大小关系不确定.2008年全国初中数学联合竞赛试题答案:B.详解:∵，为ABC的外角平分线，∴1(18012)842MBC.又18018013248BCMACB，∴180844848BMC，∴BMBC.又11(180)(180132)2422ACNACB，∴18018012()BNCABCBCNACBACN168(13224)12ABC，∴CNCB.因此，BMBCCN.故选.26．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）A.72.B.10.C.105.D.73.2009年全国初中数学联合竞赛试题答案:C27．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314.B.37.C.12.D.47.2009年全国初中数学联合竞赛试题答案:B28．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sinCBE＝（）A.63.B.23.C.13.D.1010.2009年全国初中数学联合竞赛试题答案:DABC)(A)(B)(C)(D12ABCBMBDABCE29．如图，菱形ABCD的边长为a，