历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第１届（1967年于波兰的华沙）【题１】质量Ｍ＝0.2kg的小球静置于垂直柱上，柱高ｈ＝5m。一粒质量ｍ＝0.01kg、以速度0＝500m/s飞行的子弹水平地穿过球心。球落在距离柱s＝20m的地面上。问子弹落在地面何处？子弹动能中有多少转换为热能？解：在所有碰撞情况下，系统的总动量均保持不变：MVmvmv0其中v和V分别是碰撞后子弹的速度和小球的速度.两者的飞行时间都是01.12ghts球在这段时间沿水平方向走过20m的距离，故它在水平方向的速度为：8.1901.120V（m/s）由方程0.01×500＝0.01v＋0.2×19.8可求出子弹在碰撞后的速度为：v＝104m/s子弹也在1.01s后落地，故它落在与柱的水平距离为S＝vt＝104×1.01＝105m的地面上。碰撞前子弹的初始动能为2021mv1250J球在刚碰撞后的动能为221MV39.2J子弹在刚碰撞后的动能为221mv54J与初始动能相比，两者之差为1250J－93.2J＝1156.8J这表明原来动能的92.5%被系统吸收而变为热能。这种碰撞不是完全非弹性碰撞。在完全弹性碰撞的情形下，动能是守恒的。而如果是完全非弹性碰撞，子弹将留在球内。【题2】右图（甲）为无限的电阻网络，其中每个电阻均为r，求Ａ、Ｂ两点间的总电阻。解：如图（乙）所示Ａ、Ｂ两点间的总电阻应等于Ｃ、Ｄ两点间的总电阻与电阻ｒ的并联，再与ｒ串联图（甲）后的等效电阻。如果网络是无限的，则Ａ、Ｂ两点间的总电阻应等于Ｃ、Ｄ两点间的总电阻，设为Ｒx。根据它们的串并联关系有：rRrRrRxxx图（乙）mMhSsABrrrrrrrrABrrrrrrrrＣＤ1,3,5解上式可得：rRx251【题3】给定两个同样的球，其一放在水平面上，另一个以细线悬挂。供给两球相同的热量，问两球温度是否趋于相同？说明你的理由（忽略各种热量损失）解答：如右图所示，球体受热，体积增大。放在水平面上的球重心升高，克服重力做功要耗费一部分热量，于是剩下提高球体温度的热量减少了些。以细线悬挂的球与之相反。结果放在水平面上球的温度将稍小于以细线悬挂球的温度。（这一差别是很小的，对于半径为10cm的铜球来说，相对差值约为10-7K）【实验题】测定石油的比热。可供使用的物品有：天平、量热器、温度计、电源、开关、导线、停表、电热器、容器、水和石油。解答：把已知温度t1和质量m1的水，与已知温度t2和质量m2的石油在量热器里混合，测出混合物的温度t3。从包含一方放热和另一方吸热的方程中可算出石油的比热。这是通常测定石油比热的方法。也可以先用电热器加热水，再加热等量的石油，并且及时观察温度的改变。两条温度曲线起始点的切线斜率与比热成反比关系，据此可以测定石油的比热。【替换题】（为在校没有上过电学的学生而设。）密闭容器中装有一个大气压、温度为０℃的干燥空气10升，加入3克水后将系统加热到100℃，求容器的压强。解：在100℃时，全部水都处于汽相。3克水是61摩尔（18÷3＝6），它们在100℃和１atm下的体积是：11.5273373614.22（升）㎏由状态方程求出61摩尔水蒸气的压强：373102734.2261水气p解得：水气p＝0.507atm由空气的状态方程：3732731空气p解得：空气p＝1.366atm把两部分压强相加得到总压强为：水气空气ppp＝1.366atm＋0.507atm＝1.873atm历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第2届（1968年于匈牙利的布达佩斯）1,3,5【题１】在倾角为300的斜面上，质量为m2＝4kg的木块经细绳与质量为m1＝8kg、半径为r＝5cm的实心圆柱体相连。求放开物体后的加速度。木块与斜面之间的动摩擦系数μ＝0.2，忽略轴承的摩擦和滚动摩擦。解：如果绳子是拉紧，则圆柱体与木块一同加速运动，设加速度为a，绳子中的张力为F，圆柱体与斜面之间的摩擦力为S，则圆柱体的角加速度为a／r。对木块有：m2a＝m2gsinα－μm2gcosα＋F对圆柱体有：m1a＝m1gsinα－S－FSr＝Ia／r其中I是圆柱体的转动惯量，Sr是摩擦力矩。解以上方程组可得221221cossin)(rImmmmmga（1）2212212cossin)(rImmmmmgrIS（2）2212212sincos)(rImmrIrImgmF（3）均匀圆柱体的转动惯量为221rmI代入数据可得a＝0.3317g＝3.25m/s2S＝13.01NF＝0.196N讨论：系统开始运动的条件是a＞0。把a＞0代入（1）式，得出倾角的极限α1为：3tan2121mmm0.0667α1＝3049/单从圆柱体来看，α1＝０；单从木块来看，α1＝tg-1μ＝11019/如果绳子没有拉紧，则两物体分开运动，将F＝0代入（3）式，得出极限角为：3)1(tan212Irm0.6α2＝30058/圆柱体开始打滑的条件是S值（由（2）式取同样的动摩擦系数算出）达到μm1gcosα，由此得出的α3值与已得出的α2值相同。圆柱体与木块两者的中心加速度相同，都为g（sinα－μgcosα）圆柱体底部的摩擦m1m2a1,3,5力为μm1gcosα，边缘各点的切向加速度为a＝μ（Irm21）gcosα，【题2】一个杯里装有体积为300cm3、温度为00C的甲苯，另一个杯里装有体积为110cm3、温度为1000C的甲苯，两体积之和为410cm3。求两杯甲苯混合以后的最终体积。甲苯的体膨胀系数为β＝0.001（0C）－１，忽略混合过程中的热量损失。解：若液体温度为t1时的体积为V1，则在00C时的体积为11101tVV同理，若液体温度为t2时的体积为V2，则在00C时的体积为22201tVV如果液体在00C时的密度为d，则质量分别为m1＝V10dm2＝V20d混合后，液体的温度为212211mmtmtmt在该温度下的体积分别为V10（１＋βt）和V20（１＋βt）。所以混合后的体积之和为V10（１＋βt）＋V20（１＋βt）＝V10＋V20＋β（V10＋V20）t＝V10＋V20＋β21221121mmtmtmdmm＝V10＋V20＋β（dtmdtm2211）＝V10＋βV10t1＋V20＋βV20t2＝V10（１＋βt1）＋V20（１＋βt2）＝V1＋V2体积之和不变，在本题仍为410cm3。当把多杯甲苯不断地加入进行混合，对任何数量的甲苯这个结果都成立。【题3】光线在垂直玻璃半圆柱体轴的平面内，以450角射在半圆柱体的平面上（如右图），玻璃的折射率为2。试问光线在何处离开圆柱体表面？解：用角度Ψ描述光线在玻璃半圆柱体内的位置如解图2.3所示。按照折射定律：2sin45sin0得：sin＝，＝300所有折射光线与垂直线的夹角均为AOB300，有必要研究一下，当Ψ角从00增至1800的过程中发生了什么现象。不难看出，Ψ角不可能小于600。光线从玻璃射向空气全反射的临界角由解图3.2221sinnt求出：t＝450，则：Ψt＝1800―600―450＝750如果Ψ角大于750，光线将离开圆柱体。随着Ψ角的增加，光线将再次发生全反射，此时Ψt＝900＋300＋450＝1650故当：750＜Ψ＜1650时光线离开圆柱体。出射光线的圆弧所对应的圆心角为1650―750＝900。【实验题】参加者每人领取三个封闭的盒子，每个盒上有两个插孔。不许打开盒子，试确定盒中元件的种类，并测定其特性。可供使用的是，内阻和精度已知交流和直流仪器，以及交流电源（频率50HZ）和直流电源。解：在任何一对插孔中都测不到电压，因此，盒子都不含有电源先用交流，再用直流测电阻，有一盒给出相同的结果。结论是：该盒包含一个简单电阻，其阻值由测量确定。另一盒有极大的直流电阻，但对交流来说是导体。结论是：该盒包含一个电容，其电容值由RC1算得。第三个盒子对交流和直流都是导体，而交流电阻较大。结论是：该盒包含一个电阻和电感，两者串联。电阻和电感值可从测量中算得。历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第3届（1969年于捷克斯洛伐克的布尔诺）【题1】右图的力学系统由三辆车组成，质量分别为mA＝0.3kg，mB＝0.2kg，mC＝1.5kg。（a）沿水平方向作用于C车的力F很大。使A、B两车相对C车保持静止。求力F及绳子的张力。（b）C车静止，求A、B两车的加速度及绳子的张力。（忽略阻力和摩擦力，忽略滑轮和车轮的转动惯量）解：（a）A、B两车相对C车保持静止，A车在竖直方向没有加速度，因此它对绳的拉力1,3,5ABCF1,3,5为mAg。这个力使B车得到加速度gmmaBAB。又三车系统以相同的加速度运动，则：gmmmmmFBACBA)(由给定的数值得：aB＝aC＝aA＝1.5g＝14.7m/s2绳中的张力为：T＝mAg＝2.94N水平推力为：F＝29.4N（b）如果C车静止，则力mAg使质量mA＋mB加速，加速度为：BAAABmmgma＝0.6g＝5.88N绳中的张力为：T/＝mAg－mA×0.6g＝1.176N【题2】在质量为m1的铜量热器中装有质量为m2的水，共同的温度为t12；一块质量为m3、温度为t3的冰投入量热器中（如右图所示）。试求出在各种可能情形下的最终温度。计算中t3取负值。铜的比热c1＝0.1kcal/kg·0C，水的比热c2＝1kcal/kg·0C，冰的比热c3＝0.5kcal/kg·0C，冰的熔解热L＝80kcal/kg。解：可能存在三种不同的终态：（a）只有冰；（b）冰水共存；（c）只有水。（a）冰温度升高，但没有熔化，达到某一（负）温度ta；放出的热量和吸收的热量相等：c3m3（ta－t3）＝（c1m1＋c2m2）（t12－ta）＋m2L得出最终的温度为3332112333122211)(cmcmcmLmtcmtcmcmta（1）情况（a）的条件是ta＜０（注：指00C），如果上式的分子为负值，我们得到下列条件：（c1m1＋c2m2）t12＜―c3m3t3―m2L（2）（c）现在让我们讨论冰块全部熔化的情况。设它们最终的温度为tc，冰块吸收的热量等于量热器和水放出的热量：c3m3（0－t3）＋m3L＋c2m3tc＝（c1m1＋c2m2）（t12－tc）得出最终的温度为2322113333122211)(cmcmcmLmtcmtcmcmtc（3）这种情况只有在tc＞０时才能发生。取上式的分子为正值，得到下列条件：（c1m1＋c2m2）t12＞―c3m3t3＋m3L（4）（b）冰水共存这种情况是冰和水混合后都以00C共存于量热器中。根据（2）式和（4）式，条件为：―c3m3t3―m2L＜（c1m1＋c2m2）t12＜―c3m3t3＋m3L如果混合后有x克冰熔化了，则―c3m3t3＋xL＝（c1m1＋c2m2）t12故冰熔化了的质量为Ltcmtcmcmx333122211)(于是混合后，在量热器中有质量为（m3―x）的冰和质量为（m2＋x）的水。x为负值意味着有水结为冰，冰的质量增加。对于给定的数值，我们可以从公式容易得到最终的结果。【题3】在竖直平面内有半径R＝5cm的线圈（如图）。质量m＝1g的小球系在长度为l的绝缘轻绳上，从线圈的最高点悬挂着。当线圈和小球m1c1t1m2c2t2m3c3t3mgFFnlR两者都带有Q＝9×10-8C的相同电量时，发现小球在垂直线圈平面的对称轴上处于平衡。求绳的长度。解：如果线圈上的全部电荷集中与一点，则库仑力为22lQkF线圈上各点施于小球的力与对称轴夹角为，它们在轴上的投影为Fn＝Fcos。小球的重量为mg。由上图可得：22sinlQkmglRFmg所以：32mgRkQl＝7.2cm（k＝9×109Nm2/C2）（注：以上解答为原解，可能有错）另解：如解答图3.3.1，在线圈上取一电荷微元，长为d，电荷量为d，为线电荷密度，2πR