九年级数学竞赛题(8)

九年级数学竞赛试题一、选择题:（每小题5分，共40分）1、已知整数,xy满足250xy，那么整数对(,)xy的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）32、方程222xxx的正根的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）33、在直角坐标系中，已知两点A(8,3)、B(4,5)以及动点C(0,)n、D(,0)m，则当四边形ABCD的周长最小时，比值mn为（）（A）23（B）2（C）32（D）34、设一个三角形的三边长为正整数,,anb，其中bna。则对于给定的边长n，所有这样的三角形的个数是（）（A）n（B）1n（C）2nn（D）1(1)2nn5、甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（）（A）0（B）1（C）2（D）36、空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有（）（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个7.设22211148()34441004A，则与A最接近的正整数是()A.18B.20C.24D.258在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数212yxx的函数值中整数的个数是()A.59B.120C.118D.60二、填空题（每题5分，共40分）9、已知1222Sxxx，且12x，则S的最大值与最小值的差是。10、已知两个整数a、b，满足010ba，且9aab是整数，那么数对(,)ab有____________个。11、如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，60AOC，点P在AB的延长线上，且3PBBOcm。连结PC交半圆于点D，过P作PE⊥PA交AD的延长线于点E，则PE＝___________cm。12、△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c。若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，则c可用a、b的代数式表示为._________________13、设m为整数，且关于x的方程22(5)40mxmxm有整数根，则m的值为_____________________14、已知△ABC的内切圆半径为r，60A，23BC则r的取值范围是________________________三、解答题:（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15、对于实数a，只有一个实数值x满足等式211220111xxxaxxx.试求所有这样的实数a的和.FOrrBDCEAr第14题AEPCDO第11题16、如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。(1)求证：ECACEDQD;（2）求证：22CEACPECP.17.已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求cba的最小值.ABCDEFPQ18、平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点间都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接。(1)若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？(2)若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？(3)若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点.参考答案1.D.2.A3.C4.D5.C6.C7.D8.B9.110.711.312.2215()5cab13.4,16,4.14.01r.15.解：题中等式可化为22240xxa①当方程①有两个相等的实数根时，04244a，由此得172a，此时方程①有一个根12x，验证可知12x的确满足题中的等式当方程①有两个不相等的实数根时，442(4)0a，由此得72a若1x是方程①的根，则原方程有增根1x，代入①解得28a，此时方程①的另一个根2x，它确也满足题中的等式；若1x是方程①的根，则原方程有增根1x，代入①解得34a，此时方程①的另一个根0x，验证可知0x确满足题中的等式；因此172a，28a，34a即为所求，且123312aaa17.解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a0，且b+c=2-a，abc4.于是b，c是一元二次方程04)2(2axax的两实根，aa44)2(2≥0，164423aaa≥0，)4)(4(2aa≥0.所以a≥4.……（8分）又当a=4，b=c=-1时，满足题意.故a，b，c中最大者的最小值为4.……（10分）（2）因为abc0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.1）若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾.2）若a，b，c为或一正二负，设a0，b0，c0，则22)2(aaacbacba，由（1）知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。故cba的最小值为6.……（15分）18．（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，其中每个点可以与另外两组的6个点连接，共有线段69272（条）（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，则平面上共有线段1[2(34)3(24)4(23)]262（条）（3）设第一组有a个点，第二组有b个点，第三组有c个点，则平面上共有线段1[()()()]2abcbaccababbcac（条）若保持第三组点数不变，将第一组中的一个点划归到第二组，则平面上线段的条数为(1)(1)(1)(1)1abbcacabbccaab与原来线段的条数的差是1ab，即当ab时，10ab，此时平面上的线段条数不减少当ab时，10ab此时平面上的线段条数一定减少由此可见，当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时，平面上的线段条数不减少，所以当三组中点数一样多（或基本平均）时，平面上线段的条数最多.设三组中都有x个点，则线段条数为23192x解得8x所以平面上至少有24个点.