九年级数学竞赛题(1)

九年级数学竞赛题第一试一.选择题.(每小题7分,共42分)()1.设,ab是实数,且11111abba,则11ba等于:(A)152(B)152(C)352(D)352()2.适合于2(2)20yxyx的非负整数对(,)xy的个数是:(A)1(B)2(C)3(D)4()3.如图1,凸五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O,ABCD是矩形,AE=ED,且BE和CE把AD三等分.则此五边形ABCDE的面积是:(A)33(B)32(C)3(D)534()4.若关于x的不等式3xax的解中包含了”xa”,则实数a的取值范围是:(A)3a(B)1a或3a(C)1a或3a(D)2a或3a()5.如图2,在ΔABC中,M是边AB的中点,N是边AC上的点,且2ANNC,CM与BN相交于点K.若ΔBCK的面积等于1,则ΔABC的面积等于:(A)3(B)103(C)4(D)133()6.设,,abc为实数,且0a,抛物线2yaxbxc与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且抛物线的顶点在直线1y上.若ΔABC是直角三角形,则RtΔABC面积的最大值是:(A)1(B)3(C)2(D)3二.填空题.(每小题7分,共28分)1.设x是实数,则函数123yxxx的最小值是.2.方程20xaxb的两根为12,xx,且3322121212,xxxxxx,则有序实数组(,)ab共有个.3.若2abacbccaabc,则::abc.4.如图3,正ΔEFG内接于正方形ABCD,其中E,F,G分别在边AB,AD,BC上,若2,AEEB则BGBC.第二试一.(20分)如图4,在锐角ΔABC内有一点P,直线AP,BP,CP分别交对边于Q1,Q2,Q3,且∠PQ1C=∠PQ2A=∠PQ3B.试问:点P是否必为ΔABC的垂心?如果是,请证明;如果不是,请举反例说明.二.(25分)设p为素数,k是正整数.求证:方程210xpxkp至少有一个整数根的充分必要条件是1k。三.(25分)是否存在这样的正整数n,使得2371nn能整除321nnn?请说明理由。