竞赛考题分类汇编(一)

竞赛考题分类汇编（一）数与式1.设r≥4，a＝11rr+1－，b＝11rr+1－，c＝1r(r+r+1)，则下列各式一定成立的是＿＿。A、abcB、bcaC、cabD、cba2.设a,b是不相等的任意正数,又21bxa+=,21ayb+=,则有x,y这两个数一定()A.都不大于2B.都小于2C.至少有一个大于2D.至少有一个小于23.设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。4.不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。5.若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则2222212345x+x+x+x+x的未位数字是＿＿。6.a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。7.已知：，那么＝________。8.若aaa20062005，则22005a=_______．9.已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若ab，则a＋b＋c的最大值为．10.已知0a1，且满足183029302301aaa，则a10的值等于．(x表示不超过x的最大整数)11．已知abx，a，b为互质的正整数（即a，b是正整数，且它们的最大公约数为1），且a≤8，1312x．（1）试写出一个满足条件的x；（2）求所有满足条件的x．12.小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．13．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式14162222aacb①542aabc②;求a的取值范围．14.已知abc≠0，且a+b+c=0,则代数式222abcbccaab的值是（）(A)3(B)2(C)1(D)015.计算111112233420032004=.16.实数a,b满足a3+b3+3ab=1,，则a+b=.17.设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m=.18.已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是＿＿。19.a，b，c为有理数，且等式62532cba成立，则2a+999b+1001c的值是（）（A）1999（B）2000（C）2001（D）不能确定20.已知yx,是正整数，并且120,2322xyxyxxyy，则22yx=。21.一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为。22.已知且，则＝________。23.已知为整数，且满足，则＝________。24．设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有对。27部分题解答:1.解法1：用特值法，取r=4，则有a=1114520－，b＝2525155251.03625102020－，c＝5521521.18420204(2+5)∴cba，选D解法2：a＝11111rrrr－，b＝11111111rrrrrrrrrr－c＝1r(r+r+1)4,111111111110111,111110111,:,Drrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrabrrrrrrrrrrrrrrrrrrrbcabc故又　　故综上所述选　解法3：∵r≥4∴111rr＜1∴111111111abrrrrrrc＝111111rrrrbrrrrr∴abc，选D3.∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。4.不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝24185.解：因为x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)为互不相等的偶数而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：242＝2·(-2)·4·6·(-6)所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)所以(2005－x1)2＋(2005－x2)2＋(2005－x3)2＋(2005－x4)2＋(2005－x5)2＝22＋(-2)2＋42＋62＋(-6)2＝96展开得：222222123451234552005-4010x+x+x+x+x+x+x+x+x+x962222221234512345x+x+x+x+x=96-52005+4010x+x+x+x+x1mod10A　　　　　　　　，选　6.设a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。解：显然c＞1.由题设得：(c2-a)(c2+a)=b3若取22221,2bbcabccab则由大到小考察b，使12bb为完全平方数，易知当b＝8时，c2＝36，则c=6，从而a=28。下面说明c没有比6更小的正整数解，列表如下：cc4x3(x3c4)c4-x32161,817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数。故c的最小值为67.答：∵，即。∴10.解：因为023029302301aaa，所以301a，302a，…，3029a等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以3011302301aaa=0，302930133012aaa=1，所以130110a，1≤3012a＜2．故18≤30a＜19，于是6≤10a＜319，所以a10=6．11.解：（1）21x满足条件．……………5分（2）因为abx，a，为互质的正整数，且a≤8，所以1312ab，即aba)()(1312．当a=1时，113112)()(b，这样的正整数b不存在．当a=2时，213212)()(b，故b=1，此时21x．当a=3时，313312)()(b，故b=2，此时32x．当a=4时，413412)()(b，与a互质的正整数b不存在．当a=5时，513512)()(b，故b=3，此时53x．当a=6时，613612)()(b，与a互质的正整数b不存在．当a=7时，713712)()(b，故b=3，4，5此时73x，74，75．当a=8时，813812)()(b，故b=5，此时85x所以，满足条件的所有分数为21，32，53，73，74，75，85．………………15分12.解：设原来电话号码的六位数为abcdef，则经过两次升位后电话号码的八位数为bcdefa82．根据题意，有81×abcdef=bcdefa82．记fedcbx10101010234，于是xaxa6551010208811081，解得x=1250×(208－71a)．因为0≤x＜510，所以0≤1250×(208－71a)＜510，故a71128≤71208．因为a为整数，所以a=2．于是x=1250×(208－71×2)=82500．所以，小明家原来的电话号码为282500．13.解法一：由①－2×②得01242)()(acb，所以a－1．当a－1时，14162222aacb=0712))((aa．………………10分又当ba时，由①，②得141622aac，③542aaac④将④两边平方，结合③得2222541416)()(aaaaa化简得0254082423aaa，故0524562))((aaa，解得65a，或4211a．所以，a的取值范围为a－1且65a，4211a．………………………15分解法二：因为14162222aacb，542aabc，所以222221448454214162)()()(aaaaaaacb，所以)(12acb．又542aabc，所以b，c为一元二次方程0541222aaxax)(⑤的两个不相等实数根，故05441422)()(aaa，所以a－1．当a－1时，14162222aacb=0712))((aa．………………10分另外，当ba时，由⑤式有0541222aaaaa)(，即05242aa或056a，解得，4211a或65a．当ca时，同理可得65a或4211a．所以，a的取值范围为a－1且65a，4211a．………………………15分18.225；设(ba,)＝d，且mda，ndb，其中nm，m与n互质。于是ba,的最小公倍数为mnd。依题意有120105mdndmndd，即3()235(1)357(2)mndmn又mn，据式(2)可得1051mn353mn215mn157mn根据式(1)，只能取157mn，可求得15d故两个数中较大的数是225md。22．解：，即，，，，，。23．解：左边＝，即，，而为整数，且不相等，只可能取值或。不妨设，则，或，∵（2）无整数解，由（1）得，。