江苏省历年高等数学竞赛试题

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分）1.0sinsin(sin)limsinxxxx2.22ln(1)1xxyx，/y3.2cosyx，()()nyx4.21xxedxx5.4211dxx6.圆222222042219xyzxyzxyz的面积为7.(2,)xzfxyy，f可微，//12(3,2)2,(3,2)3ff，则(,)(2,1)xydz8.级数11(1)!2!nnnnn的和为.二.（10分）设()fx在,ab上连续，且()()bbaabfxdxxfxdx，求证：存在点,ab，使得()0afxdx.三．（10分）已知正方体1111ABCDABCD的边长为2，E为11DC的中点，F为侧面正方形11BCCB的中点，（1）试求过点1,,AEF的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点1,,AEF的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD是等腰梯形，//,8BCADABBCCD,求,,ABBCAD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。五（12分）求二重积分22cossinDxydxdy，其中22:1,0,0Dxyxy六、（12分）求21xxyedxxydy，其中为曲线22201212xxxyxx从0,0O到1,1A.七.（12分）已知数列na单调增加，123111,2,5,,3nnnaaaaaa2,3,,n记1nnxa，判别级数1nnx的敛散性.2008年江苏省普通高等学校非理科专业一、填空题（每小题5分，共40分）1）___,____ab时，2limarctan.2xaxxxbxx2）11lim__________.(3)nnkkk3）设()(1)(2)(100),fxxxxx则(100)_______.f4）___,____ab时，2()1xfxaxxbx在0x时关于x的无穷小的阶数最高.5）2320sincos_______.xxdx6）2221_______.(1)xdxx7）设,xzxy则(2,1)_________.nnzy8）设D为,0,1yxxy所围区域，则arctan_________.Dydxdy二、（8分）设数列nx为：111,6(1,2)nnxxxn，求证：数列nx收敛，并求其极限三、（8分）设函数()fx在[,]ab上连续(0),()0,baafxdx求证：存在(,),ab使得()().afxdxf四、（8分）将xy平面上的曲线222()(0)xbyaab绕直线3xb旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积.五、（8分）设22242,(,)(0,0);(,)0,(,)(0,0).xyxyxyfxyxyxy讨论(,)fxy在(0,0)处的连续性、可偏导性、可微性.六、（10分）已知曲面222441xyz与平面0xyz的交线在xy平面上的投影为一椭圆，求此椭圆面积.七、（8分）求24001limsin().ttxtdxydyt八、（10分）求221,Dxydxdy这里22:2,0.Dxyxyx2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一.填空（每题5分，共40分）1.3xfxa，41limln12nfffnn2.25001lim1xtxxedtx3.1202arctan1xdxx4.已知点4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)ABC,O为坐标原点，则四面体OABC的内接球面方程为5.设由yzxze确定(,)zzxy，则,0edz6.函数2,xfxyeaxby中常数,ab满足条件时，1,0f为其极大值.7.设是sin(0)yaxa上从点0,0到,0的一段曲线，a时，曲线积分222yxydxxyedy取最大值.8.级数1111npnnnn条件收敛时，常数p的取值范围是二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200公里/小时3三.（10分）曲线的极坐标方程为1cos02，求该曲线在4所对应的点的切线L的直角坐标方程，并求切线L与x轴围成图形的面积.四（8分）设()fx在,上是导数连续的有界函数，1fxfx，求证：1.,fxx五（12分）本科一级考生做：设锥面22233(0)zxyz被平面340xz截下的有限部分为.（1）求曲面的面积；（2）用薄铁片制作的模型，(2,0,23),(1,0,3)AB为上的两点，O为原点，将沿线段OB剪开并展成平面图形D，以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D的边界的极坐标方程.本科二级考生做：设圆柱面221(0)xyz被柱面222zxx截下的有限部分为.为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，(1,0,5),(1,0,1),1,0,0ABC为上的三点，将沿线段BC剪开并展成平面图形D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点A坐标为0,5，写出D的边界的方程，并求D的面积.六（10分）曲线220xzy绕z轴旋转一周生成的曲面与1,2zz所围成的立体区域记为，本科一级考生做2221dxdydzxyz本科二级考生做222xyzdxdydz七（10分）本科一级考生做1）设幂级数21nnnax的收敛域为1,1，求证幂级数1nnnaxn的收敛域也为1,1；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明.本科二级考生做：求幂级数2112nnnnx的收敛域与和函数2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题5分，共40分）1.fx是周期为的奇函数，且在0x处有定义，当0,2x时，sincos2fxxx，求当,2x时，fx的表达式.2.2tan2limsinxxx3.2222lim14nnnnnnnn4.2ln1,2fxxxn时0nf5.21xxexdxxe6.112nnnn.7.设,fxy可微，1,22,1,23,1,24xyfff，,,2xfxfxx，则1.8.设010xxfxgx其他，D为,xy，则Dfyfxydxdy.二．（10分）设fx在,ab上连续，fx在,ab内可导，(),faa，2212bafxdxba,求证：,ab内至少存在一点使得1ff三.（10分）设22:4,,24Dyxyxxy，在D的边界yx上任取点P,设P到原点距离为t，作PQ垂直于yx，交D的边界224yx于Q1）试将,PQ的距离PQ表示为t的函数；2）求D饶yx旋转一周的旋转体的体积四（10分）已知点(1,0,1),(3,1,2)PQ-,在平面212xyz-+=上求一点M，使PMMQ+最小五（10分）求幂级数1132nnnnxn的收敛域。六（10分）设,fxy可微，1,22,1,22,1,23xyfff，,2,2,2xffxxfxx，求1.七（10分）求二次积分222021ded2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题5分，共40分）1.0lim0xxkxeeccx，则k，c2.设fx在1,上可导，下列结论成立的是A.若lim0xfx，则fx在1,上有界B.若lim0xfx，则fx在1,上无界C.若lim1xfx，则fx在1,上无界3.设由1yexyxx确定()yyx，则0y4.arcsinarccosxxdx5.曲线22222zxyxyy，在点1,1,2的切线的参数方程为6.设,sinxyzfgeyx，f有二阶连续导数，g有二阶连续偏导数，则2zxy7.交换二次积分的次序2130,xxdxfxydy.8.幂级数11112nnxn的收敛域二.（8分）设fx在0,上连续，单调减少，0ab，求证00()()baafxdxbfxdx三.（8分）设fx在,ab上连续，()()0bbxaafxdxfxedx，求证:fx在,ab内至少存在两个零点.四.（8分）求直线1211xyz绕y轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与0,2yy所包围的立体的体积.五.（9分）设k为常数，试判断级数221lnnknnn的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？六.（9分）设221arctan,0,0,0,0,0yxyxyfxyxy讨论,fxy在点0,0处连续性，可偏导性？可微性.七.（9分）设fu在0u可导，22200,:2fxyztz，求222501limtfxyzdxdydzt八.（9分）设曲线AB的极坐标方程为1cos22，一质点P在力F作用下沿曲线AB从0,1A运动到0,1B，力F的大小等于P到定点3,4M的距离，其方向垂直于线段MP，且与y轴正向的夹角为锐角，求力F对质点P做得功.2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题3分，共15分）.1.设fxxx，则ffx2.1limln1xxxxxx3.已知21dfxdxx，则fx4.14451xdxx5..设,zzxy由方程,0yzFxx确定（F为任意可微函数），则zzxyxy二选择题（每题3分，共15分）1.对于函数112121xxy，点0x是（）A.连续点；B.第一类间断点；C.第二类间断点；D可去间断点2.已知函数yfx对一切x满足231xxfxxfxe，若000(0)fxx，则（）A.0fx是fx的极大值；B.00,xfx是曲线yfx的拐点；C.0fx是fx的极小值；D0fx不是fx的极值，00,xfx也不是曲线yfx的拐点3.23323lim2xxxxx（）A.等于1；B.等于0；C.等于1；D不存在，但也不是4.若0000,,,xyxyffxy都存在，则,fxy在00,xyA.极限存在，但不一定连续；B.极限存在且连续；C.沿任意方向的方向导数存在；D极限不一定存在，也不一定连续5.设为常数，则级数21sin1nnnnA.绝对收敛B.条件收敛；C.发散；D收敛性与