高中物理竞赛试题解题方法：整体法（2）

高中物理竞赛试题解题方法：整体法赛题精讲例9：总质量为M的列车以匀速率v0在平直轨道上行驶，各车厢受的阻力都是车重的k倍，而与车速无关。某时刻列车后部质量为m的车厢脱钩，而机车的牵引力不变，则脱钩的车厢刚停下的瞬间，前面列车的速度是多少？解析：此题求脱钩的车厢刚停下的瞬间，前面列车的速度，就机车来说，在车厢脱钩后，开始做匀加速直线运动，而脱钩后的车厢做匀减速运动，由此可见，求机车的速度可用匀变速直线运动公式和牛顿第二定律求解。现在若把整个列车当作一个整体，整个列车在脱钩前后所受合外力都为零，所以整个列车动量守恒，因而可用动量守恒定律求解。根据动量守恒定律，得：Mv0=(M－m)V即：V=0MvMm即脱钩的车厢刚停下的瞬间，前面列车的速度为0MvMm。【说明】显然此题用整体法以列车整体为研究对象，应用动量守恒定律求解比用运动学公式和牛顿第二定律求简单、快速。例10：总质量为M的列车沿水平直轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱钩，司机发觉时，机车已走了距离L，于是立即关闭油门，撤去牵引力，设运动中阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的，求，当列车两部分都静止时，它们的距离是多少？解析：本题若分别以机车和末节车厢为研究对象用运动学、牛顿第二定律求解，比较复杂，若以整体为研究对象，研究整个过程，则比较简单。假设末节车厢刚脱钩时，机车就撤去牵引力，则机车与末节车厢同时减速，因为阻力与质量成正比，减速过程中它们的加速度相同，所以同时停止，它们之间无位移差。事实是机车多走了距离L才关闭油门，相应的牵引力对机车多做了FL的功，这就要求机车相对于末节车厢多走一段距离ΔS，依靠摩擦力做功，将因牵引力多做功而增加的动能消耗掉，使机车与末节车厢最后达到相同的静止状态。所以有：FL=fΔS其中F=μMg，f=μ(M－m)g代入上式得两部分都静止时，它们之间的距离：ΔS=MLMm例11：如图1—10所示，细绳绕过两个定滑轮A和B，在两端各挂个重为P的物体，现在A、B的中点C处挂一个重为Q的小球，Q＜2P，求小球可能下降的最大距离h。已知AB的长为2L，不讲滑轮和绳之间的摩擦力及绳的质量。解析：选小球Q和两重物P构成的整体为研究对象，该整体的速率从零开始逐渐增为最大，紧接着从最大又逐渐减小为零（此时小球下降的距离最大为h），如图1—10—甲。在整过程中，只有重力做功，机械能守恒。因重为Q的小球可能下降的最大距离为h，所以重为P的两物体分别上升的最大距离均为：22hL－L考虑到整体初、末位置的速率均为零，故根据机械能守恒定律知，重为Q的小球重力势能的减少量等于重为P的两个物体重力势能的增加量，即：Qh=2P(22hL－L)从而解得：h=22222PL(8PQQQ4P例12：如图1—11所示，三个带电小球质量相等，均静止在光滑的水平面上，若只释放A球，它有加速度aA=1m/s2，方向向右；若只释放B球，它有加速度aB=3m/s2，方向向左；若只释放C球，求C的加速度aC。解析：只释放一个球与同时释放三个球时，每球所受的库仑力相同。而若同时释放三个球，则三球组成的系统所受合外力为0，由此根据系统牛顿运动定律求解。把A、B、C三个小球看成一个整体，根据系统牛顿运动定律知，系统沿水平方向所受合外力等于系统内各物体沿水平方向产生加速度所需力的代数和，由此可得：maA+maB+maC=0规定向右为正方向，可解得C球的加速度：aC=－(aA+aB)=－(1－3)=2m/s2方向水平向右：例13：如图1—12所示，内有a、b两个光滑活塞的圆柱形金属容器，其底面固定在水平地板上，活塞将容器分为A、B两部分，两部分中均盛有温度相同的同种理想气体，平衡时，A、B气体柱的高度分别为hA=10cm，hB=20cm，两活塞的重力均忽略不计，活塞的横截面积S=1.0×10－3m2。现用竖直向上的力F拉活塞a，使其缓慢地向上移动Δh=3.0cm，时，活塞a、b均恰好处于静止状态，环境温度保护不变，求：（1）活塞a、b均处于静止平衡时拉力F多大？（2）活塞a向上移动3.0cm的过程中，活塞b移动了多少？（外界大气压强为p0=1.0×105Pa）解析：针对题设特点，A、B为同温度、同种理想气体，可选A、B两部分气体构成的整体为研究对象，并把两部分气体在一同时间内分别做等温变化的过程视为同一整体过程来研究。（1）根据波意耳定律，p1V1=p2V2得：p0(10+20)S=p′(10+20+3.0)S′从而解得整体末态的压强为p′=1011p0再以活塞a为研究对象，其受力分析如图1—12甲所示，因活塞a处于平衡状态，故有：F+p′S=p0S从而解得拉力：F=(p0－p′)S=(p0－1011p0)S=111p0S=111×1.0×105×1.0×10－3=9.1N（2）因初态A、B两气体的压强相同，温度相同，分子密度相同，末态两气体的压强相同，温度相同，分子密度相同，故部分气体体积变化跟整体气体体积变化之比，必然跟原来它们的体积成正比，即：Bhh=BABhhh所以活塞b移动的距离：ΔhB=BABhhhΔh=201020×3.0=2.0cm例14：一个质量可不计的活塞将一定量的理想气体封闭在上端开口的直立圆筒形气缸内，活塞上堆放着铁砂，如图1—13所示，最初活塞搁置在气缸内壁的固定卡环上，气体柱的高度为H0，压强等于大气压强p0。现对气体缓慢加热，当气体温度升高了ΔT=60K时，活塞（及铁砂）开始离开卡环而上升。继续加热直到气柱高度为H1=1.5H0。此后，在维持温度不变的条件下逐渐取走铁砂，直到铁砂全部取走时，气柱高度变为H2=1.8H0，求此时气体的温度。（不计活塞与气缸之间的摩擦）解析：气缸内气体的状态变化可分为三个过程：等容变化→等压变化→等温变化；因为气体的初态压强等于大气压p0，最后铁砂全部取走后气体的压强也等于大气压p0，所以从整状态变化来看可相当于一个等压变化，故将这三个过程当作一个研究过程。根据盖·吕萨克定律：01HST=22HST①再隔离气体的状态变化过程，从活塞开始离开卡环到把温度升到H1时，气体做等压变化，有：01HSTT=12HST②解①、②两式代入为数据可得：T2=540K例15：一根对称的“∧”形玻璃管置于竖直平面内，管所有空间有竖直向上的匀强电场，带正电的小球在管内从A点由静止开始运动，且与管壁的动摩擦因数为μ，小球在B端与管作用时无能量损失，管与水平面间夹角为θ，AB长L，如图2—14所示，求从A开始，小球运动的总路程是多少？（设小球受的电场力大于重力）解析：小球小球从A端开始运动后共受四个力作用，电场力为qE、重力mg、管壁支持力N、摩擦力f，由于在起始点A小球处于不平衡状态，因此在斜管上任何位置都是不平衡的，小球将做在“∧”管内做往复运动，最后停在B处。若以整个运动过程为研究对象，将使问题简化。以小球为研究对象，受力如图1—14甲所示，由于电场力和重力做功与路径无关，而摩擦力做功与路径有关，设小球运动的总路程为s，由动能定理得：qELsinθ－mgLsinθ－fs=0①又因为f=μN②N=(qE－mg)cosθ③所以由以上三式联立可解得小球运动的总路程：s=Ltan例16：两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计。已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图2—15所示。不计导轨上的摩擦。（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小；（2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量。解析：本题是电磁感应问题，以两条细杆组成的回路整体为研究对象，从力的角度看，细杆匀速移动，拉力跟安培力大小相等。从能量的角度看，外力做功全部转化为电能，电又全部转化为内能。根据导线切割磁感线产生感应电动势公式得：ε总=2BLv从而回路电流：I=2Blv2r由于匀速运动，细杆拉力：F=F安=BIl=22Blvr=3.2×10－2N根据能量守恒有：Q=Pt=2Fvt=Fs=1.28×10－2J即共产生的热量为1.28×10－2J。例17：两金属杆ab和cd长均为l，电阻均为R，质量分别为M和m，M＞m。用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧。两金属杆都处在水平位置，如图1—16所示。整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B。若金属杆ab正好匀速向下运动，求运动的速度。解析：本题属电磁感应的平衡问题，确定绳上的拉力，可选两杆整体为研究对，确定感应电流可选整个回路为研究对象，确定安培力可选一根杆为研究对象。设匀强磁场垂直回路平面向外，绳对杆的拉力为T，以两杆为研究对象，受力如1—16甲所示。因两杆匀速移动，由整体平衡条件得：4T=(M+m)g①对整个回路由欧姆定律和法拉第电磁感应定律得：I=BlV2R②对ab杆，由于杆做匀速运动，受力平衡：BIl+2T－Mg=0③联立①②③三式解得：v=22(Mm)gR2Bl