高中物理竞赛辅导资料——角动量例题

“角动量守恒”及其应用在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。1角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m的动量为P，相对于参考点O的角动量为L，其值sinprL，其中α是质点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r的夹角。其角动量的变化量L等于外力的冲量矩tM（M为外力对参考点O的力矩），即tML。若M=0，得L=0，即质点对参考点O的角动量守恒。1．2质点系对参考点的角动量守恒定律由n个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量tMi，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即tMLi。同样当0iM时，质点系对该参考点的角动量守恒。如果n个质点组成的质点系，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，上述结论仍成立。1．3角动量守恒的判断当外力对参考点的力矩为零，即0iM时，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。②所有外力通过参考点。③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。甚至某一方向上的外力矩为零，则在这一方向上满足角动量守恒。④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。2角动量守恒定律的应用例题1（第23届物理竞赛复赛第2题）如图2所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M的小球A，以一给定速度v0沿垂直于杆DB的方向与右端小球B作弹性碰撞。求刚碰后小球A、B、C、D的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。本题粗看是一类弹性碰撞类问题，利用动量守恒、能量守恒及杆子牵连速度来求解。但本题涉及4个物体组成的质点系，未知量多，利用上述关系还不能求解。挖掘题中的守恒规mmmMDBCAV0图2OmPα图1r律成为本题的难点，且守恒规律不易挖掘。解析①小球A、B碰撞瞬间，球A挤压B，其作用力方向垂直于杆，使球B获得沿0v方向的速度Bv。从而在碰撞瞬间使小球C、D的速度也沿0v方向。对质点组B、C、D与A组成的系统，碰撞前后动量守恒。由于小球C位于由B、C、D三球组成的质点组的质心处，所以小球C的速度也就是质点组的质心速度。可得：0AC3MMmvvv（1）②质点组B、C、D与A是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等。碰撞后A、B、C、D的速度分别为Av、Bv、Cv、Dv，得222220ABCD11111+22222MMmmvvmvvv（2）③对质点组B、C、D在碰撞瞬间，在B处受到A球的作用力，若取B（与B球重合的空间固定点）为参考点，则质点组B、C、D在碰撞前后，外力矩等于零，所以质点组角动量守恒。可得：CD02mlmlvv（3）④由杆的刚性条件有：DccBvvvv（4）由（1）、（2）、（3）、（4）式，可得C0456MMmvv（5）A05656MmMmvv（6）B01056MMmvv（7）D0256MMmvv（8）⑤碰撞后各小球的运动碰撞后，质点组B、C、D不受外力作用，其质心作匀速运动，即C0456MMmvv，碰撞后，B、D两小球将绕小球C作匀角速度转动，角速度的大小为0656BMlMmCvvvl方向为逆时针方向。由（6）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向与M、m的大小有关，由于M、m取值不同而导致运动情形比较复杂，即可以使A0v=；A0v；A0v且ACvv；ACvv情景的出现，在此不作详细讨论。例题2（第20届物理竞赛复赛第1题）如图3所示，a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000V．在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以Ek＝2000eV的动能沿与OO平行的方向射向a．以l表示b与OO线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值．把质子换图3成电子，再求l的最大值．解析①质子在运动过程中受到a球对它的库仑力作用，且库仑力总是通过a球的球心。类似这样的力我们称之为有心力。如取球心O为参考点，则其作用力对O的力矩始终为零，即质子在运动过程中对参考点O的角动量守恒。即在有心力作用下角动量守恒。如图4所示，令m表示质子的质量，0v和v分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，e表示元电荷。质子在b处的角动量为max0lmvLb；到达球a表面时的角动量为RmvLa所以得：max0mvlmvR（1）②质子从b运动到a，能量守恒，由于无穷远处电势能为零，故得：2201122mvmveU（2）由式（1）、（2）可得20max1/2eUlRmv代入数据，可得max22lR③若把质子换成电子，此时式（2）中e改为e。同理可求得max62lR例题3如图5所示，滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同，均为M，处于静止。现有距盘底高为h质量为m的胶泥自由下落，求胶泥粘在盘上时盘获得的初速度。不计滑轮与绳质量，及轴承摩擦和绳的伸长。解析①对盘、重物、胶泥组成的质点系，在胶泥下落过程中，质点系对轴心O的外力矩为胶泥的重力矩。当胶泥与盘碰撞时，碰撞内力对O的内力矩远大于胶泥的重力矩，从而得质点系对O的角动量近似守恒。②质点系碰撞前对O的角动量rmvL01（1）（v0为m碰前的速度，r为滑轮的半径）；质点系碰撞后瞬间对O的角动量MrvvrMmL2（2）③胶泥碰前作自由落体运动，所以ghv20（3）由（1）、（2）、（3）式可得ghmMmv22图4v图5mMO