高中物理竞赛辅导__电磁感应

电磁感应§3。1 基本磁现象由于自然界中有磁石( 4 3 O Fe )存在，人类很早以前就开始了对磁现象的研究。人们把磁石能吸引铁`钴`镍等物质的性质称为磁性。条形磁铁或磁针总是两端吸引铁屑的能力最强，我们把这吸引铁屑能力最强的区域称之为磁极。将一条形磁铁悬挂起来，则两极总是分别指向南北方向，指北的一端称北极(N 表示)；指南的一端称南极(S 表示)。磁极之间有相互作用力，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引。磁针静止时沿南北方向取向说明地球是一个大磁体，它的N 极位于地理南极附近，S 极位于地理北极附近。 1820 年，丹麦科学家奥斯特发现了电流的磁效应。第一个揭示了磁与电存在着联系。长直通电导线能给磁针作用；通电长直螺线管与条形磁铁作用时就如同条形磁铁一般；两根平行通电直导线之间的相互作用……，所有这些都启发我们一个问题:磁铁和电流是否在本源上一致?  1822 年，法国科学家安培提出了组成磁铁的最小单元就是环形电流，这些分子环流定向排列，在宏观上就会显示出N、S 极的分子环流假说。近代物理指出，正是电子的围绕原子核运动以及它本身的自旋运动形成了“分子电流”，这就是物质磁性的基本来源。一切磁现象的根源是电流，以下我们只研究电流的磁现象。§3。2 磁感应强度 3．2．1、磁感应强度、毕奥·萨伐尔定律将一个长 L，I的电流元放在磁场中某一点，电流元受到的作用力为 F。当电流元在某一方位时，这个力最大，这个最大的力 m F 和 IL的比值，叫做该点的磁感应强度。将一个能自由转动的小磁针放在该点，小磁针静止时 N 极所指的方向，被规定为该点磁感应强度的方向。真空中，当产生磁场的载流回路确定后，那空间的磁场就确定了，空间各点的B r也就确定了。根据载流回路而求出空间各点的B 要运用一个称为毕奥—萨伐尔定律的实验定律。毕—萨定律告诉我们：一个电流元 IDL(如图 3­2­1)在相对电流元的位置矢量为r r的 P 点所产生的磁场的磁感强度 B rD大小为 2 sin r L I KqD=，q为顺着电流IDL的方向与r r方向的夹角， B rD的方向可用右手螺旋法则确定，即伸出右手，先把四指放在 IDL的方向上，顺着小于p的角转向r r方向时大拇指方向即为 B rD的方向。式中 K为一常数，K= 7 10-韦伯/安培·米。载流回路是由许多个 IDL组成的，求出每个 IDL在 P 点的 B rD后矢量求和，就得到了整个载流回路在 P 点的B r。 O I l I rD R x P r raa^DB r B rD // B rD图 3－2－2高中物理竞赛电学教程第三讲磁场第四讲电磁感应如果令pm= 4 0 K ， 7 0 10 4-´p=m特斯拉·米·安 1-，那么 BD又可写为 2 0 sin 4 r L I BqDpm=D 0m称为真空的磁导率。下面我们运用毕——萨定律，来求一个半径为 R，载电流为 I的圆电流轴线上，距圆心 O 为c的一点的磁感应强度在圆环上选一 I l rD，它在 P 点产生的磁感应强度 2 0 2 0 4 90 sin 4 r l I r l I BDpm=Dpm=Do，其方向垂直于 I l rD和r r所确定的平面，将B r分解到沿 OP 方向 // BD和垂直于 OP 方向^DB ，环上所有电流元在 P 点产生的^DB 的和为零， r R r l I B B×D=D=D 2 0 // 4 sin ,pma B=ååp×pm=Dpm=D R r RI l r RI B 2 4 4 3 0 3 0 // （å=D R lp 2 线性一元叠加） 2 / 3 2 2 2 0 ) ( 2 R I R+cm=在圆心处， 0=c， R I B 2 0m= 3．2．2、由毕——萨定律可以求出的几个载流回路产生的磁场的磁感应强度B r (1)无限长载流直导线为了形象直观地描述磁场，引进了与电感线相似的磁感线。长直通电导线周围的磁感线如图 3­2­3 所示。如果导线中通过的电流强度为 I，在理论上和实验中都可证明，在真空中离导线距离为 r处的磁感强度 r I Bpm= 2 0 或 r I K B=式中 0m称为真空中的磁导率，大小为 m T / 10 4 7-´p。 1 7 10 2--×´= m T K (2)无限长圆柱体无限长载流直导线 r I Bpm 2 0= r 为所求点到直导线的垂直距离。半径为 R，均匀载有电流，其电流密度为 j 的无限长圆柱体 I 图 3­2­3 图3­2­4q r r图3­2­1高中物理竞赛电学教程第三讲磁场第四讲电磁感应当 r＜R，即圆柱体内 2 0 0 2 2 R rI r j Bpmm==当 r＞R，即圆柱体外 r I r j R Bpm=ppm= 2 2 0 2 0 (3)长直通电螺线管内磁场长直导电螺线管内磁场如图图3­2­4 所示可认为是匀强磁场，场强大小可近似用无限长螺线管内 B 的大小表示 nI B 0m=内 n为螺线管单位长度的匝数 (4)螺绕环的磁场与长直通电螺线管内磁场的磁场相同。 3．2．3、磁感应线和磁通量为了形象地描绘磁场的分布，在磁场中引入磁感应线，亦即磁力线。磁力线应满足以下两点：第一，磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度 B r的方向；第二，通过垂直于B r的单位面积上的磁感应线的条数应等于该处磁感应强度B r的大小。图 3­2­5 的(a)和(b)分别给出了无限长载流导线和圆电流的磁场的磁力线。从图中可看到：磁力线是无头无尾的闭合线，与闭合电路互相套合。磁感线是一簇闭合曲线，而静电场的电感线是一簇不闭合的曲线(或者是从正电荷到负电荷，或者是从正电荷到无穷远处，从无穷远处到负电荷)。这是一个十分重要的区别，凡是感线为闭合曲线的场都不可能是保守场。磁感强度是一个矢量，如果两个电流都对某处的磁场有贡献，就要用矢量合成的方法。如果有 a、 b两根长直通电导线垂直于纸面相距r 放置，电流的大小 I I a=， I I b 2= (图 3­2­6) 那么哪些位置的磁感强度为零呢？在 a、b 连线以外的位置上，两根导线上电流所产生的磁感强度 a B 和 b B 的方向都不在一直线上，不可能互相抵消；在 a、b 连线上，a 左边或b 右边的位置上， a B 和 b B 的方向是相同的，也不可能互相抵消；因此只有在a、b中间的连线上， a B 和 b B 才有可能互相抵消，设离a 距离为c的 P 处合磁感应强度为零(图 3­2­6) B A B B Bå+= (矢量式)= 0 2=c-¢-c¢ r I k I kc-¢=c¢ r I k I k 2 ， 3 r=c通过一给定曲面的总磁力线数称为通过该曲面的磁通量，磁通量的单位是韦伯，1 韦伯=1 特斯拉´1 米 2 。 I (a) I (b) 图 3­2­5 （a）（b）图 2­3­7高中物理竞赛电学教程第三讲磁场第四讲电磁感应图 3­2­7(a)中，通过匀磁场中与磁力线垂直的平面 0 S 的磁通量为 0 BS=F；而通过与磁力线斜交的 S 面的磁通量为：q cos BS=F(q角即是两个平面 S 和 S 0 的夹角，也是 S 面的法线与B r的夹角)。而在(b)中，磁场和曲面都是任意的，要求出通过 S 面的磁通量应把通过 S 面上每一小面元 i SD的磁通量求出后求和，即：åD=F i i i S Bq cos 3．2．4、磁场中的高斯定理考虑到磁力线是无头无尾的封闭曲线，对磁场中任一封闭曲面来说，有多少根磁力线穿入，必有多少根穿出，即通过磁场中任一封闭曲面的磁通量为零。这就是磁场的高斯定理，它表明了磁场一个重要性质，即磁场是无源场，自然界中没有单独的 N极或 S 极存在。 3．2．5、典型例题例 1：图 3­2­8所示，两互相靠近且垂直的长直导线，分别通有电流强度 1 I 和 2 I 的电流，试确定磁场为零的区域。分析：建立图示直角坐标系，用安培定则判断出两电流形成的磁场方向后，可以看出在Ⅰ、Ⅲ两象限内，两磁场方向相反，因此合磁场为零区域只能出现在这两个象限内。解：设 P(x、y)点合磁感强度为零，即有 0 2 1=- y I k x I k 得 x I I y 1 2=这就是过原点的直线方程，其斜率为 I 2 /I1。例 2：如图 3­2­9所示，将均匀细导线做成的圆环上任意两点 A和 B 与固定电源连接起来，计算由环上电流引起的环中心的磁感强度。分析：磁感强度 B 可以看成圆环上各部分(将圆环视为多个很小长度部分的累加)的贡献之和，因为对称性，圆环上各部分电流在圆心处磁场是相同或相反，可简化为代数加减。解：设 A、B 两点之间电压为 U，导线单位长度电阻r，如图 3­2­10 所示，则二段圆环电流raR U I= 1rap×-= R U I ) 2 ( 2 磁感强度 B 可以是圆环每小段 lD部分磁场 BD的叠加，在圆心处， BD可表达为 R l I k BD×=D，所以：Ⅳ x y ⅠⅡⅢ图3­2­8 A I B I O 图 3­2­9 图3­2­10 R BD B Aaa-p 2 I1 I2高中物理竞赛电学教程第三讲磁场第四讲电磁感应aa 1 1 1 1 1 kI R R I k R l I k B=×== ) 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 2apap-=×-×== kI R R lk R l I k B因rapra R I R I ) 2 ( 2 1-=故 2 1 B B=，即两部分在圆心处产生磁场的磁感强度大小相等，但磁场的方向正好相反，因此环心处的磁感强度等于零。§3。3 磁场对载流导体的作用 3．3．1、安培力一段通电直导线置于匀磁场中，通电导线长 L，电流强度为 I，磁场的磁感应强度为 B，电流 I和磁感强度 B间的夹角为q，那么该导线受到的安培力为q sin×= BIL F 电流方向与磁场方向平行时，o 0=q，或o 180=q，F=0，电流方向与磁场方向垂直时，o 90=q，安培力最大，F=BIL。安培力方向由左手定则判断，它一定垂直于 B、L所决定的平面。当一段导电导线是任意弯曲的曲线时，如图 3­3­1所示可以用连接导线两端的直线段的长度l作为弯曲导线的等效长度，那么弯曲导线缩手的安培力为q sin BIL F= 3．3．2、安培的定义如图 3­3­2 所示，两相距为 a的平行长直导线分别载有电流 1 I 和 2 I 。载流导线1在导线 2处所产生的磁感应强度为 a I Bpm 2 1 0 21=，方向如图示。导线 2 上长为 2 LD的线段所受的安培力为： 2 sin 21 2 2 2p B L I FD=D = 2 2 1 0 21 2 2 2 L a I I B L ID=Dpm其方向在导线 1、2 所决定的平面内且垂直指向导线 1，导线 2 单位长度上所受的力 l ＰＩＱ Bq图3­3­1 I1 I2 1 2 B12 B21 a 1 FD 2 FD图3­3­2高中物理竞赛电学教程第三讲磁场第四讲电磁感应 a I I L Fpm 2 2 1 0 2 2=DD同理可证，导线l上单位长度导线所受力也为 a I I L Fpm 2 2 1 0 1 1=DD。方向垂直指向 2，两条导线间是吸引力。也可证明，若两导线内电流方向相反，则为排斥力。国际单位制中，电流强度的单位安培规定为基本单位。安培的定义规定为：放在真空中的两条无限长直平行导线，通有相等的稳恒电流，当两导线相距1 米，每一导线每米长度上受力为 2 7 10-´牛顿时，各导线上的电流的电流强度为1 安培。 3．3．3、安培力矩如图 3­3­3 所示，设在磁感应强度为 B 的均匀磁场中，有一刚性长方形平面载流线图，边长分别为 L1 和 L 2 ，电流强度为 I，线框平面的法线n r与B r之间的夹角为q，则各边受力情况如下： 2 BIL f ab=方向指向读者 2 BIL f cd=方向背向读者qqp cos ) 2 sin( 1 1 BIL BIL f bc=-=方向向下qqp cos ) 2 sin( 1 1 BIL