高中物理竞赛——动量、能量习题

高中物理竞赛——动量、能量习题一、动量定理还是动能定理？物理情形：太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗，每颗的平均质量为m，垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率v飞行，垂直速度方向的横截面积为S，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F。模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象，是本题的前提。建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异。物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾。先用动量定理推论解题。取一段时间Δt，在这段时间内，飞船要穿过体积ΔV=S·vΔt的空间，遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP，其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力。F=tP=tvM=tvVnm=tvtnSvm=nmSv2如果用动能定理，能不能解题呢？同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x=vΔt的位移，引擎推力F须做功W=Fx，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量，而飞船的ΔEk为零，所以：W=21ΔMv2即：FvΔt=21（nmS·vΔt）v2得到：F=21nmSv2两个结果不一致，不可能都是正确的。分析动能定理的解题，我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的，需要消耗大量的机械能，因此，认为“引擎做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的。但在动量定理的解题中，由于I=Ft，由此推出的F=tP必然是飞船对垃圾的平均推力，再对飞船用平衡条件，F的大小就是引擎推力大小了。这个解没有毛病可挑，是正确的。（学生活动）思考：如图1所示，全长L、总质量为M的柔软绳子，盘在一根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端，以恒定的水平速度v将绳子拉直。忽略地面阻力，试求手的拉力F。解：解题思路和上面完全相同。答：LMv2二、动量定理的分方向应用物理情形：三个质点A、B和C，质量分别为m1、m2和m3，用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连，静止在水平面上，如图2所示，AB和BC之间的夹角为（π－α）。现对质点C施加以冲量I，方向沿BC，试求质点A开始运动的速度。模型分析：首先，注意“开始运动”的理解，它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生，但是绳子的方位尚未发生变化。其二，对三个质点均可用动量定理，但是，B质点受冲量不在一条直线上，故最为复杂，可采用分方向的形式表达。其三，由于两段绳子不可伸长，故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系。下面具体看解题过程——绳拉直瞬间，AB绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I1，BC绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I2；设A获得速度v1（由于A受合冲量只有I1,方向沿AB，故v1的反向沿AB），设B获得速度v2（由于B受合冲量为1I+2I，矢量和既不沿AB，也不沿BC方向，可设v2与AB绳夹角为〈π－β〉，如图3所示），设C获得速度v3（合冲量I+2I沿BC方向，故v3沿BC方向）。对A用动量定理，有：I1=m1v1①B的动量定理是一个矢量方程：1I+2I=m22v，可化为两个分方向的标量式，即：I2cosα－I1=m2v2cosβ②I2sinα=m2v2sinβ③质点C的动量定理方程为：I－I2=m3v3④AB绳不可伸长，必有v1=v2cosβ⑤BC绳不可伸长，必有v2cos(β－α)=v3⑥六个方程解六个未知量（I1、I2、v1、v2、v3、β）是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤——1、先用⑤⑥式消掉v2、v3，使六个一级式变成四个二级式：I1=m1v1⑴I2cosα－I1=m2v1⑵I2sinα=m2v1tgβ⑶I－I2=m3v1(cosα+sinαtgβ)⑷2、解⑶⑷式消掉β，使四个二级式变成三个三级式：I1=m1v1㈠I2cosα－I1=m2v1㈡I=m3v1cosα+I22232msinmm㈢3、最后对㈠㈡㈢式消I1、I2，解v1就方便多了。结果为：v1=23132122sinmm)mmm(mcosIm（学生活动：训练解方程的条理和耐心）思考：v2的方位角β等于多少？解：解“二级式”的⑴⑵⑶即可。⑴代入⑵消I1，得I2的表达式，将I2的表达式代入⑶就行了。答：β=arctg（tgmmm221）。三、动量守恒中的相对运动问题物理情形：在光滑的水平地面上，有一辆车，车内有一个人和N个铅球，系统原来处于静止状态。现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将获得反冲速度。第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为v，直到将球抛完；第二过程，保持每次相对车子抛球速率均为v，直到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大？模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物，这意味着，本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系，这样对“第二过程”的铅球动量表达，就形成了难点，必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程”，比较简单：N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的。设车和人的质量为M，每个铅球的质量为m。由于矢量的方向落在一条直线上，可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算。设车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为V1第二过程获得的速度大小为V2。第一过程，由于铅球每次的动量都相同，可将多次抛球看成一次抛出。车子、人和N个球动量守恒。0=Nm(-v)+MV1得：V1=MNmv①第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用。第一个球与（N–1）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为u1。值得注意的是，根据运动合成法则地车车球地球vvv，铅球对地的速度并不是（-v），而是（-v+u1）。它们动量守恒方程为：0=m(-v+u1)+〔M+(N-1)m〕u1得：u1=vNmMm第二个球与（N-2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为u2。它们动量守恒方程为：〔M+(N-1)m〕u1=m(-v+u2)+〔M+(N-2)m〕u2得：u2=vNmMm+vm)1N(Mm第三个球与（N-2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为u3。铅球对地的速度是（-v+u3）。它们动量守恒方程为：〔M+(N-2)m〕u2=m(-v+u3)+〔M+(N-3)m〕u3得：u3=vNmMm+vm)1N(Mm+vm)2N(Mm以此类推（过程注意：先找uN和uN-1关系，再看uN和v的关系，不要急于化简通分）……，uN的通式已经可以找出：V2=uN=vNmMm+vm)1N(Mm+vm)2N(Mm+…+vmMm即：V2=N1ivimMm②我们再将①式改写成：V1=N1ivMm①′不难发现，①′式和②式都有N项，每项的分子都相同，但①′式中每项的分母都比②式中的分母小，所以有：V1＞V2。结论：第一过程使车子获得的速度较大。（学生活动）思考：质量为M的车上，有n个质量均为m的人，它们静止在光滑的水平地面上。现在车上的人以相对车大小恒为v、方向水平向后的初速往车下跳。第一过程，N个人同时跳下；第二过程，N个人依次跳下。试问：哪一次车子获得的速度较大？解：第二过程结论和上面的模型完全相同，第一过程结论为V1=n1ivnmMm。答：第二过程获得速度大。四、反冲运动中的一个重要定式物理情形：如图4所示，长度为L、质量为M的船停止在静水中（但未抛锚），船头上有一个质量为m的人，也是静止的。现在令人在船上开始向船尾走动，忽略水的阻力，试问：当人走到船尾时，船将会移动多远？（学生活动）思考：人可不可能匀速（或匀加速）走动？当人中途停下休息，船有速度吗？人的全程位移大小是L吗？本系统选船为参照，动量守恒吗？模型分析：动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系，要过渡到位移关系，需要引进运动学的相关规律。根据实际情况（人必须停在船尾），人的运动不可能是匀速的，也不可能是匀加速的,运动学的规律应选择S=vt。为寻求时间t，则要抓人和船的位移约束关系。对人、船系统，针对“开始走动→中间任意时刻”过程，应用动量守恒（设末态人的速率为v，船的速率为V），令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代数运算，有：0=MV+m(-v)即：mv=MV由于过程的末态是任意选取的，此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系。而且不难推知，对中间的任一过程，两者的平均速度也有这种关系。即：mv=MV①设全程的时间为t，乘入①式两边，得：mvt=MVt设s和S分别为人和船的全程位移大小，根据平均速度公式，得：ms=MS②受船长L的约束，s和S具有关系：s+S=L③解②、③可得：船的移动距离S=mMmL（应用动量守恒解题时，也可以全部都用矢量关系，但这时“位移关系”表达起来难度大一些——必须用到运动合成与分解的定式。时间允许的话，可以做一个对比介绍。）另解：质心运动定律人、船系统水平方向没有外力，故系统质心无加速度→系统质心无位移。先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离x表达。根据力矩平衡知识，得：x=)Mm(2mL），又根据，末态的质量分布与初态比较，相对整体质心是左右对称的。弄清了这一点后，求解船的质心位移易如反掌。（学生活动）思考：如图5所示，在无风的天空，人抓住气球下面的绳索，和气球恰能静止平衡，人和气球地质量分别为m和M，此时人离地面高h。现在人欲沿悬索下降到地面，试问：要人充分安全地着地，绳索至少要多长？解：和模型几乎完全相同，此处的绳长对应模型中的“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地）。答：MMmh。（学生活动）思考：如图6所示，两个倾角相同的斜面，互相倒扣着放在光滑的水平地面上，小斜面在大斜面的顶端。将它们无初速释放后，小斜面下滑，大斜面后退。已知大、小斜面的质量分别为M和m，底边长分别为a和b，试求：小斜面滑到底端时，大斜面后退的距离。解：水平方向动量守恒。解题过程从略。答：mMm（a－b）。进阶应用：如图7所示，一个质量为M，半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上，在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑。试求：质点离开球面以前的轨迹。解说：质点下滑，半球后退，这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似，仔细分析，由于同样满足水平方向动量守恒，故我们介绍的“定式”是适用的。定式解决了水平位移（位置）的问题，竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法。为寻求轨迹方程，我们需要建立一个坐标：以半球球心O为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标。由于质点相对半球总是做圆周运动的（离开球面前），有必要引入相对运动中半球球心O′的方位角θ来表达质点的瞬时位置，如图8所示。由“定式”，易得：x=mMMRsinθ①而由图知：y=Rcosθ②不难看出，①、②两式实际上已经是一个轨迹的参数方程。为了明确轨迹的性质，我们可以将参数θ消掉，使它们成为：22)RmMM(x+22Ry=1这样，特征就明显了：质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和mMMR的椭圆。五、功的定义式中S怎么取值？在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等，S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢？我们先看下面一些事例。1、如图9所示，人用双手压在台面上推讲台，结果双手前进了一段位移而讲台未移动。试问：人是否做了功？2、在本“部分”第3页图1的模型中，求拉力做功时，S是否可以取绳子质心的位移？3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼。楼梯是否做功？4、如图10所示，双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活塞，活塞移动相同距离S，汽缸中封闭气体被压缩。施力者（人）是否做功？在以上四个事例中，S若取作用点位移，只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并未移动，而只是在不停地交换作用点），S若取物