高中物理竞赛(力学)练习题解

1、（本题20分）如图6所示，宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R。当飞船运行到P点时，在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原来速度的α倍。因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会。飞船喷气质量可以不计。（1）试求飞船新轨道的近火星点A的高度h近和远火星点B的高度h远；（2）设飞船原来的运动速度为v0,试计算新轨道的运行周期T。2，(20分)有一个摆长为l的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计），在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O的距离为x处（x＜l）的C点有一固定的钉子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡．当l一定而x取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同．现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的高度不超过O点），然后放手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求x的最小值．3，（20分）如图所示，一根长为L的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b，它们的质量分别为ma和mb.杆可绕距a球为L/4处的水平定轴O在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置．小球b几乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，求当a转过角时小球b速度的大小．设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物块始终接触没有分离．不计一切摩擦．4、把上端A封闭、下端B开口的玻璃管插入水中,放掉部分空气后放手,玻璃管可以竖直地浮在水中(如下图).设玻璃管的质量m=40克,横截面积S=2厘米2,水面以上部分的长度b=1厘米,大气压强P0=105帕斯卡.玻璃管壁厚度不计,管内空气质量不计.(1)求玻璃管内外水面的高度差h.(2)用手拿住玻璃管并缓慢地把它压入水中,当管的A端在水面下超过某一深度时,放手后玻璃管不浮起.求这个深度.(3)上一小问中,放手后玻璃管的位置是否变化?如何变化?(计算时可认为管内空气的温度不变)5、一个光滑的圆锥体固定在水平的桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角θ=30°(如右图).一条长度为l的绳(质量不计),一端的位置固定在圆锥体的顶点O处,另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看作质点,绳长小于圆锥体的母线).物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动(物体和绳在上图中都没画出).aObABCDF6、(13分)一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体,如图所示.绳的P端拴在车后的挂钩上,Q端拴在物体上.设绳的总长不变,绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时,车在A点,左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的,左侧绳长为H.提升时,车加速向左运动,沿水平方向从A经过B驶向C.设A到B的距离也为H,车过B点时的速度为vB.求在车由A移到B的过程中,绳Q端的拉力对物体做的功.7.在两端封闭、内径均匀的直玻璃管内,有一段水银柱将两种理想气体a和b隔开.将管竖立着,达到平衡时,若温度为T,气柱a和b的长度分别为la和lb;若温度为T＇,长度分别为l抋和l抌.然后将管平放在水平桌面上,在平衡时,两段气柱长度分别为l攁和l攂.已知T、T8．如图所示，质量为KgM9的小车放在光滑的水平面上，其中AB部分为半径R=0.5m的光滑41圆弧，BC部分水平且不光滑，长为L=2m，一小物块质量m=6Kg，由A点静止释放，刚好滑到C点静止（取g=102sm），求：①物块与BC间的动摩擦因数②物块从A滑到C过程中，小车获得的最大速度9.．如图所示，在光滑水平面上放一质量为M、边长为l的正方体木块，木块上搁有一长为L的轻质光滑棒，棒的一端用光滑铰链连接于地面上O点，棒可绕O点在竖直平面内自由转动，另一端固定一质量为m的均质金属小球．开始时，棒与木块均静止，棒与水平面夹角为角．当棒绕O点向垂直于木块接触边方向转动到棒与水平面间夹角变为的瞬时，求木块速度的大小．10如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．11如图所示，一木块从斜面AC的顶端A点自静止起滑下，经过水平面CD后，又滑上另一个斜面DF，到达顶端F点时速度减为零。两斜面倾角不同，但木块与所有接触面间的摩擦系数相同，若AF连线与水平面夹角为θ，试求木块与接触面间的滑动摩擦系数μ。12.图中的AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内,由两个半径都是R的1/4圆周连接而成，它们的圆心1O、2O与两圆弧的连接点O在同一竖直线上．BO2沿水池的水面．一小滑块可由弧AO的任意点从静止开始下滑．1．若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处？（用该处到1O的连线与竖直线的夹角表示）．2．凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到2O的距离如何？参考解答1参考解答：对圆轨道应用动力学，有：v0=HRGM①则椭圆轨道上P点的速度：vP=2020)v(v=21HRGM②对P→A过程，机械能守恒：21m2Pv−HRGmM=21m2Av−ArGmM③比较P、A两点，用开普勒第二定律（此处特别注意，P点的速度取垂直矢径的分速度）：mRωθrmg图2.11AFCBθDEv0rP=vArA④解①②③④四式可得：rA=1HR同理，对P和B用能量关系和开普勒第二定律，可得：rB=1HR椭圆的长半轴：a=2rrBA=21HR最后对圆轨道和椭圆轨道用开普勒第三定律可得椭圆运动的周期。答：h近=1RH，h远=1RH；T=0v)HR(2232)11(。2.参考解答摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动，若摆球的质量为m，则摆球受重力mg和摆线拉力T的作用，设在这段时间内任一时刻的速度为v，如图预解20-5所示。用表示此时摆线与重力方向之间的夹角，则有方程式2cosmvTmglx（1）运动过程中机械能守恒，令表示摆线在起始位置时与竖直方向的夹角，取O点为势能零点，则有关系21cos[()cos)]2mglmvmgxlx（2）摆受阻后，如果后来摆球能击中钉子，则必定在某位置时摆线开始松弛，此时T＝0，此后摆球仅在重力作用下作斜抛运动。设在该位置时摆球速度0vv，摆线与竖直线的夹角0，由式（1）得200()cosvglx，（3）代入（2）式，求出02cos3()cos2lxlx（4）要求作斜抛运动的摆球击中C点，则应满足下列关系式：000()sincoslxvt，（5）20001()cossin2lxvtgt（6）利用式（5）和式（6）消去t，得到22000()sin2cosglxv（7）由式（3）、（7）得到03cos3（8）代入式（4），求出43lFaObABCD(23)3arccos2xll（9）越大，cos越小，x越小，最大值为/2，由此可求得x的最小值：(23)3xl，所以(233)0.464xtl（10）3..参考答案：如图所示，用bv表示a转过角时b球速度的大小，v表示此时立方体速度的大小，则有vvcosb（1）由于b与正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿水平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反，做功的总和为0．因此在整个过程中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械能的增量．现用av表示此时a球速度的大小，因为a、b角速度相同，lOa41，lOb43，所以得bavv31（2）根据功能原理可知22221cos434321cos4421sin4vvvmllgmmllgmmlFbbbaaa（3）将（1）、（2）式代入可得222)cos(21cos434321cos443121sin4bbbbabamllgmmllgmmlFvvv解得2cos18182cos13sin9mmmgmmFlbababv4.玻璃管A端浮在水面上方时,管受力平衡.设管中空气压强为P1,则管所受内外空气压力之差(竖直方向)是f=(P1-P0)S0(a)用ρ表示水的密度,P1=P0+ρgh,(b)则:f=ρghS.(c)f应与管所受重力平衡:ρghS=mg.(d)(2)管竖直没入水中后,设管A端的深度为H,管内气柱长度为l,则A端所在处水内压强为:PA=P0+Hρg,(f)管内气压,由管内水面在水下的深度可知:为:P2=P0+Hρg+lρg.(g)管所受两者压力之差(竖直方向)为:f＇=(P2-PA)S=lρgS.(h)随着管的下降,管内水面也必下降,即管内水面在水下的深度增大〔若管内水面的深度不变(或减小),则P2不变(或减小),而因管A端的下降,管内空气的体积却减小了,这与玻-马定律不符〕.因此,P2增大,l减小,故f＇减小.当管A端到达某一深度H0时,f＇与管所受重力相等,超过这一深度后,f＇小于重力,放手后管不浮起.由此,当H=H0时,f＇=lρgS=mg,(i)这时,由玻-马定律:P2lS=P1(b+h)S.(k)代入数值后,(3)由上一小问解答的分析可知,当管A端的深度超过H0时,f＇mg.故放手后管的位置要变化,将自行下沉.评分说明:全题14分.(1)3分;(2)和(3)共11分.(1)中,利用(a)、(b)式求出(c)式的,给2分.直接用阿基米德原理得出管(及管内空气)所受浮力(c)式的,同样给2分.利用条件(d)得出结果(e)的,再给1分.因单纯运算或数值计算(包括单位换算)错误而结果错误的,扣1分.(2)、(3),这两小问的解答中考生需要通过分析得知f＇随着管的下降而减小,从而确定放手后管不浮起的条件和管位置的变化.故两小问一起定评分说明.利用(f)、(g)得出(h)式的,给2分.直接求浮力而得出(h)式的,同样给2分.利用平衡条件得出(j)式的,再给1分.利用玻-马定律决定H0部分,占3分.分析f＇随管的下降而减小,占4分,不要求严格论证,能说出管下降时l减小即可.用其他话说的,正确的,也可.不作分析的不给这4分.说出自行下沉的,再给1分.因单纯运算或数值计算(包括单位换算)错误而结果错误的,扣1分.g值取作10米/秒2而得出H0=0.51米的,同样给分.5、题目要求考生说明每问解法的根据.物体做水平匀速圆周运动有两种可能:一种是物体与锥体表面接触(见图1);一种是物体与锥体表面不接触(见图2).当接触时,物体受力如图1所示,T是绳对物体的拉力,N是支持力,mg是重力.物体与锥面间无摩擦.将力沿水平方向和竖直方向分解,按牛顿定律得:Tcosθ+Nsinθ=mg.(b)由(a)、(b)两式消去T,可得N跟v的关系如下:率,并将θ=30°代入,可得因为N是支持力,最小等于0,所以当vvb时,物体不再与锥面接触.或:T=1.03mg.只受重力和绳子拉力作用(如图2所示).用表示绳与圆锥体轴线之间的夹角,将力沿水平方向和竖直方向分解,按牛顿定律得:Tcos=mg.(e)2T2-3mgT-2m2g2=0解此方程,取合理值,得:T=2mg.评分说明:全题12分.本题要求考生说明每问解法的根据,即要求得出(c)式,并将(1)、(2)两问中的速率与(c)式相比较.这部分内容占6分.不论考生用什么方法解题,得出(c)式的给4分,再将(1)、(2)两问中的速率与(c)式比较的,再各给1分.在(1)中,列(a)、(b)式及求解占3分.(a)、(b)两式中有一个列错的,扣2分.单纯运算错误,扣1分.答案最后结果写作T=mg的,不扣分.在(2)中,列(d)、(e)式及求解占3分.(d)、(e)两式中有一个列错的,扣2分.单纯运算错误,扣1