高中物理奥赛辅导讲义_磁场

第九部分磁场第一讲基本知识介绍《磁场》部分在奥赛考刚中的考点很少，和高考要求的区别不是很大，只是在两处有深化：a、电流的磁场引进定量计算；b、对带电粒子在复合场中的运动进行了更深入的分析。一、磁场与安培力1、磁场a、永磁体、电流磁场→磁现象的电本质b、磁感强度、磁通量c、稳恒电流的磁场*毕奥-萨伐尔定律（Biot-Savartlaw）：对于电流强度为I、长度为dI的导体元段，在距离为r的点激发的“元磁感应强度”为dB。矢量式dB=k3rrlId，（dl表示导体元段的方向沿电流的方向、r为导体元段到考查点的方向矢量）；或用大小关系式dB=k2rsinIdl结合安培定则寻求方向亦可。其中k=1.0×10−7N/A2。应用毕萨定律再结合矢量叠加原理，可以求解任何形状导线在任何位置激发的磁感强度。毕萨定律应用在“无限长”直导线的结论：B=2krI；*毕萨定律应用在环形电流垂直中心轴线上的结论：B=2πkI2/3222)rR(R；*毕萨定律应用在“无限长”螺线管内部的结论：B=2πknI。其中n为单位长度螺线管的匝数。2、安培力a、对直导体，矢量式为F=IBL；或表达为大小关系式F=BILsinθ再结合“左手定则”解决方向问题（θ为B与L的夹角）。b、弯曲导体的安培力⑴整体合力折线导体所受安培力的合力等于连接始末端连线导体（电流不变）的的安培力。证明：参照图9-1，令MN段导体的安培力F1与NO段导体的安培力F2的合力为F，则F的大小为F=)cos(FF2FF212221=BI)cos(LL2LL212221=BIMO关于F的方向，由于ΔFF2P∽ΔMNO，可以证明图9-1中的两个灰色三角形相似，这也就证明了F是垂直MO的，再由于ΔPMO是等腰三角形（这个证明很容易），故F在MO上的垂足就是MO的中点了。证毕。由于连续弯曲的导体可以看成是无穷多元段直线导体的折合，所以，关于折线导体整体合力的结论也适用于弯曲导体。（说明：这个结论只适用于匀强磁场。）⑵导体的内张力弯曲导体在平衡或加速的情形下，均会出现内张力，具体分析时，可将导体在被考查点切断，再将被切断的某一部分隔离，列平衡方程或动力学方程求解。c、匀强磁场对线圈的转矩如图9-2所示，当一个矩形线圈（线圈面积为S、通以恒定电流I）放入匀强磁场中，且磁场B的方向平行线圈平面时，线圈受安培力将转动（并自动选择垂直B的中心轴OO′，因为质心无加速度），此瞬时的力矩为M=BIS几种情形的讨论——⑴增加匝数至N，则M=NBIS；⑵转轴平移，结论不变（证明从略）；⑶线圈形状改变，结论不变（证明从略）；*⑷磁场平行线圈平面相对原磁场方向旋转α角，则M=BIScosα，如图9-3；证明：当α=90°时，显然M=0，而磁场是可以分解的，只有垂直转轴的的分量Bcosα才能产生力矩…⑸磁场B垂直OO′轴相对线圈平面旋转β角，则M=BIScosβ，如图9-4。证明：当β=90°时，显然M=0，而磁场是可以分解的，只有平行线圈平面的的分量Bcosβ才能产生力矩…说明：在默认的情况下，讨论线圈的转矩时，认为线圈的转轴垂直磁场。如果没有人为设定，而是让安培力自行选定转轴，这时的力矩称为力偶矩。二、洛仑兹力1、概念与规律a、f=qBv，或展开为f=qvBsinθ再结合左、右手定则确定方向（其中θ为B与v的夹角）。安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观体现。b、能量性质由于f总垂直B与v确定的平面，故f总垂直v，只能起到改变速度方向的作用。结论：洛仑兹力可对带电粒子形成冲量，却不可能做功。或：洛仑兹力可使带电粒子的动量发生改变却不能使其动能发生改变。问题：安培力可以做功，为什么洛仑兹力不能做功？解说：应该注意“安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观体现”这句话的确切含义——“宏观体现”和“完全相等”是有区别的。我们可以分两种情形看这个问题：（1）导体静止时，所有粒子的洛仑兹力的合力等于安培力（这个证明从略）；（2）导体运动时，粒子参与的是沿导体棒的运动v1和导体运动v2的合运动，其合速度为v，这时的洛仑兹力f垂直v而安培力垂直导体棒，它们是不可能相等的，只能说安培力是洛仑兹力的分力f1=qv1B的合力（见图9-5）。很显然，f1的合力（安培力）做正功，而f不做功（或者说f1的正功和f2的负功的代数和为零）。（事实上，由于电子定向移动速率v1在10−5m/s数量级，而v2一般都在10−2m/s数量级以上，致使f1只是f的一个极小分量。）☆如果从能量的角度看这个问题，当导体棒放在光滑的导轨上时（参看图9-6），导体棒必获得动能，这个动能是怎么转化来的呢？若先将导体棒卡住，回路中形成稳恒的电流，电流的功转化为回路的焦耳热。而将导体棒释放后，导体棒受安培力加速，将形成感应电动势（反电动势）。动力学分析可知，导体棒的最后稳定状态是匀速运动（感应电动势等于电源电动势，回路电流为零）。由于达到稳定速度前的回路电流是逐渐减小的，故在相同时间内发的焦耳热将比导体棒被卡住时少。所以，导体棒动能的增加是以回路焦耳热的减少为代价的。2、仅受洛仑兹力的带电粒子运动a、v⊥B时，匀速圆周运动，半径r=qBmv，周期T=qBm2b、v与B成一般夹角θ时，做等螺距螺旋运动，半径r=qBsinmv，螺距d=qBcosmv2这个结论的证明一般是将v分解…（过程从略）。☆但也有一个问题，如果将B分解（成垂直速度分量B2和平行速度分量B1，如图9-7所示），粒子的运动情形似乎就不一样了——在垂直B2的平面内做圆周运动？其实，在图9-7中，B1平行v只是一种暂时的现象，一旦受B2的洛仑兹力作用，v改变方向后就不再平行B1了。当B1施加了洛仑兹力后，粒子的“圆周运动”就无法达成了。（而在分解v的处理中，这种局面是不会出现的。）3、磁聚焦a、结构：见图9-8，K和G分别为阴极和控制极，A为阳极加共轴限制膜片，螺线管提供匀强磁场。b、原理：由于控制极和共轴膜片的存在，电子进磁场的发散角极小，即速度和磁场的夹角θ极小，各粒子做螺旋运动时可以认为螺距彼此相等（半径可以不等），故所有粒子会“聚焦”在荧光屏上的P点。4、回旋加速器a、结构&原理（注意加速时间应忽略）b、磁场与交变电场频率的关系因回旋周期T和交变电场周期T′必相等，故qBm2=f1c、最大速度vmax=mqBR=2πRf5、质谱仪速度选择器&粒子圆周运动，和高考要求相同。第二讲典型例题解析一、磁场与安培力的计算【例题1】两根无限长的平行直导线a、b相距40cm，通过电流的大小都是3.0A，方向相反。试求位于两根导线之间且在两导线所在平面内的、与a导线相距10cm的P点的磁感强度。【解说】这是一个关于毕萨定律的简单应用。解题过程从略。【答案】大小为8.0×10−6T，方向在图9-9中垂直纸面向外。【例题2】半径为R，通有电流I的圆形线圈，放在磁感强度大小为B、方向垂直线圈平面的匀强磁场中，求由于安培力而引起的线圈内张力。【解说】本题有两种解法。方法一：隔离一小段弧，对应圆心角θ，则弧长L=θR。因为θ→0（在图9-10中，为了说明问题，θ被夸大了），弧形导体可视为直导体，其受到的安培力F=BIL，其两端受到的张力设为T，则T的合力ΣT=2Tsin2再根据平衡方程和极限xxsinlim0x=0，即可求解T。方法二：隔离线圈的一半，根据弯曲导体求安培力的定式和平衡方程即可求解…【答案】BIR。〖说明〗如果安培力不是背离圆心而是指向圆心，内张力的方向也随之反向，但大小不会变。〖学员思考〗如果圆环的电流是由于环上的带正电物质顺时针旋转而成（磁场仍然是进去的），且已知单位长度的电量为λ、环的角速度ω、环的总质量为M，其它条件不变，再求环的内张力。〖提示〗此时环的张力由两部分引起：①安培力，②离心力。前者的计算上面已经得出（此处I=/2R2=ωλR），T1=BωλR2；后者的计算必须．．应用图9-10的思想，只是F变成了离心力，方程2T2sin2=2Mω2R，即T2=2RM2。〖答〗BωλR2+2RM2。【例题3】如图9-11所示，半径为R的圆形线圈共N匝，处在方向竖直的、磁感强度为B的匀强磁场中，线圈可绕其水平直径（绝缘）轴OO′转动。一个质量为m的重物挂在线圈下部，当线圈通以恒定电流I后，求其静止时线圈平面和磁场方向的夹角。【解说】这是一个应用安培力矩定式的简单问题，解题过程从略。【答案】arctgmgNBIR。二、带电粒子在匀强磁场中的运动【例题4】电子质量为m、电量为q，以初速度v0垂直磁场进入磁感强度为B的匀强磁场中。某时刻，电子第一次通过图9-12所示的P点，θ为已知量，试求：（1）电子从O到P经历的时间；（2）O→P过程洛仑兹力的冲量。【解说】圆周运动的基本计算。解题过程从略。值得注意的是，洛仑兹力不是恒力，故冲量不能通过定义式去求，而应根据动量定理求解。【答案】（1）eBm2；（2）2mv0sinθ。【例题5】如图9-13所示，S是粒子源，只能在纸面上的360°范围内发射速率相同、质量为m、电量为q的电子。MN是一块足够大的挡板，与S相距OS=L。它们处在磁感强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，试求：（1）要电子能到达挡板，其发射速度至少应为多大？（2）若发射速率为meBL，则电子击打在挡板上的范围怎样？【解说】第一问甚简，电子能击打到挡板的临界情形是轨迹与挡板相切，此时rmin=2L；在第二问中，先求得r=L，在考查各种方向的初速所对应的轨迹与挡板相交的“最远”点。值得注意的是，O点上方的最远点和下方的最远点并不是相对O点对称的。【答案】（1）m2eBL；（2）从图中O点上方距O点3L处到O点下方距O点L处的范围内。【例题6】如图9-14甲所示，由加速电压为U的电子枪发射出的电子沿x方向射入匀强磁场，要使电子经过x下方距O为L且∠xOP=θ的P点，试讨论磁感应强度B的大小和方向的取值情况。【解说】以一般情形论：电子初速度v0与磁感应强度B成任意夹角α，电子应做螺旋运动，半径为r=eBsinmv0，螺距为d=eBcosmv20，它们都由α、B决定（v0=emU2是固定不变的）。我们总可以找到适当的半径与螺距，使P点的位置满足L、θ的要求。电子运动轨迹的三维展示如图9-14乙所示。如果P点处于（乙图中）螺线轨迹的P1位置，则α=θ，B∥OP；如果P点处于P2或P3位置，则α≠θ，B与OP成一般夹角。对于前一种情形，求解并不难——只要解L=kd（其中k=1，2，3，…）方程即可；而对后一种情形，要求出B的通解就难了，这里不做讨论。此外，还有一种特解，那就是当B⊥OP时，这时的解法和【例题4】就完全重合了。【答案】通解不定。当B∥OP时，B=emU2Lcosk2（其中k=1，2，3，…）；当B⊥OP时，B=emU2Lsin2。〖问题存疑〗两个特解能不能统一？三、带电粒子在电磁复合场中的运动一般考虑两种典型的复合情形：B和E平行，B和E垂直。对于前一种情形，如果v0和B（E）成θ角，可以将v0分解为v0τ和v0n，则在n方向粒子做匀速圆周运动，在τ方向粒子做匀加速运动。所以，粒子的合运动是螺距递增（或递减）的螺线运动。对于后一种情形（垂直复合场），难度较大，必须起用动力学工具和能量（动量）工具共同求解。一般结论是，当v0和B垂直而和E成一般夹角时，粒子的轨迹是摆线（的周期性衔接）。【例题7】在三维直角坐标中，沿+z方向有磁感强度为B的匀强磁场，沿−z方向有电场强度为E的匀强电场。在原点O有一质量为m、电量为−q的粒子（不计重力）以正x方向、大小为v的初速度发射。试求粒子再过z轴的坐标与时间。【解说】过程甚简，粒子运动情形见图9-15。【答案】z=222qBmEk2，t=qBkm2。（其中k=1，2，3，…）【例题8】在相互垂直的匀强电、磁场中，E、B值已知，一个质量为m、电量为+q的带电微粒（重力不计）无初速地释放，试定量寻求该粒子的运动规律。【解说】在相互垂直