高中数学问题备忘录—数列

高中数学备忘录——数列、极限、数学归纳法1.等差数列中的重要性质：若()mnklmnklN，，，，则mnklaaaa；2.等比数列中的重要性质：若()mnklmnklN，，，，则mnklaaaa；3.以上两个性质可推广到若干个，但等式两端的项数必须相等，脚标之和必须相等；4.等差（比）数列通项公式的变式()()nknknkaankdaaq有时非常好用；5.两个实数ab、的等差中项唯一2abA；2abA是aAb，，成等差数列的充要条件；6.两个正数ab、的等比中项有两个Gab；2Gab是aGb，，成等比数列的必要非充分条件；7.等差数列{}na的前n项和111()()(1)(1)2222nknknnnaanaanndnndSanan；8.用等比数列求和公式求数列的和时，勿忘1q；已知前n项和nS，求na,勿忘1n；9.等比数列{}na的前n项和1111(1)111nnnnaqSaaqaqqqq，，；10.1q时，1(1)1nnaqSq的优势：无需知道末项；11nnaaqSq的优势：无需知道项数；11.等差数列{}na的前n项和，次n项和，再n项和，…，第k个n项和成等差数列，公差为2nd；12.等比数列{}na的前n项和，次n项和，再n项和，…，第k个n项和成等比数列，公比是nq；13.已知等差数列的前n项和为nS，则1()2nSddnan，表明{}nSn也是等差数列；即点()()nSnnNn，共线(也就是当n取不同值时，斜率相等)；14.项数有限的等差数列奇数项的和S奇，偶数项的和S偶满足nSSS奇偶；当n为偶数时，2ndSS奇偶；当n为奇数时，nSSSan奇偶中；····15.若数列{}na、{}nb都是等差数列，则{}nnAaBb(AB、为常数)也是等差数列；16.若数列{}na、{}nb都是等比数列，则{}ABnnab(AB、为常数)也是等比数列；17.若数列{}na是等差数列，(01)nanbaaa，，则{}nb是等比数列；18.若数列{}na是等比数列，log(01)nnabaaa，，则{}nb是等差数列；19.证明数列{}na为等差数列的方法：①根据定义：1nnaad(nNd，为常数)；②根据通项公式：1(1)naand；③根据性质：122nnnaaa；20.证明数列{}na为等比数列的方法：①根据定义：1nnaqa(nNq，为非零常数)；②根据通项公式：11nnaaq；③根据性质：212nnnaaa；21.设nS是数列{}na的前n项和,{}na为等差数列的充要条件是2nSanbn(ab，为常数)其公差是2a；{}na为等比数列的充要条件是nnSaqa(aq，为非零常数)其公比是q；22.等差数列前n项和的最大(小)值的求法：①二次函数配方法；②找出所有正(负)项；若mkSS，则mk为偶数时，2mkS最大(或小)，mk为奇数时，12mkS和12mkS大(或小)23.“若nnncab，其中{}na是等差数列，{}nb是等比数列，求{}nc的最大(小)项”，利用不等式1nnaa(或1nnaa)找到{}nc的单调性；24.“若nnncab，其中{}na是等差数列，{}nb是等比数列，求{}nc的前n项”用“错位相减”法；25.“若1nnncab，其中{}na、{}nb都是等差数列，求{}nc的前n项的和”用“裂项求和”法；（如111(1)1nnnn；!(1)!!nnnn等）；26.“若nnncAaBb(AB、为常数)，其中{}na、{}nb的和分别已知或可求，求{}nc的前n项的和”用“分组求和”法；（如13223nncn等）；27.还有等差数列求和公式的推导方法“倒序相加法”求和；····28.数学归纳法证明与自然数有关的问题的步骤：以下斜体字在证题过程中照抄，“……”是证明过程①(验证)当0nn时，……结论成立；②假设0()nkknnN，时结论成立，即……则当1nk时，……即当1nk时，结论成立由①②可知，结论对任意0nnnN，成立。29.数列{}na的极限是A，说明随着n的无限增大，na与A越来越近，而且无限接近．．．．；30.“limlimnnnnaAbB，”是“lim()nnnabAB”的充分非必要条件；31.“若limlimnnnnaAbB，，则lim()nnnabAB”可推广到有限，不可推广到无限；32.22222123(1)1lim()lim22nnnnnnnnnn（先求和，再求极限）；33.若k为常数，则2222123lim()0nknnnn（用加法的推广形式直接求极限）；34.若0cd，则0lim0nnnnnaqpapbqcbcpdqpqd，，；35.1111112222limkkkknanbncaanbnca(20ak，为常数)36.1lim(1)nnen；lim()bdnananbeand37.如下两个极限的条件易记混：若没有说明是等比数列，则lim0nnq成立的条件为||1q（这里的q可为零）；无穷等比数列的和1lim1nnaSSq成立的条件为0||1q（这里的q不可为零）；38.已知无穷等比数列的和为a，可由11aaq和0||1q求得q的范围，本质是根据定义域求值域。