高中数学竞赛专题讲座——解析几何

高中数学竞赛专题讲座——解析几何一、选择题部分1．(集训试题)过椭圆C：12322yx上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（）A．]33,0(B．]23,33(C．)1,33[D．)1,23(解：设P(x1,y1)，Q(x,y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3,y)。又∵HQ=λPH，所以11PQHP，所以由定比分点公式，可得：yyxx11)1(3，代入椭圆方程，得Q点轨迹为123)]1(3[222yx，所以离心率e=)1,33[321322322.故选C.2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y＝12上,则抛物线方程为(D)A．212yxB．212yxC．216yxD．216yx3．（2006年江苏）已知抛物线22ypx，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（B）A．0个B．2个C．4个D．6个4．（2006天津）已知一条直线l与双曲线12222byax（0ab）的两支分别相交于P、Q两点，O为原点，当OQOP时，双曲线的中心到直线l的距离d等于（A）A．22ababB．22ababC．abab22D．abab225．(2005全国)方程13cos2cos3sin2sin22yx表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线解：),23cos()22cos(,223220,32即.3sin2sin又,03cos2cos,03cos,02cos,32,220方程表示的曲线是椭圆.)()4232sin(232sin22)3cos2(cos)3sin2(sin,0)4232sin(.423243,432322,0232sin,02322.0)(式即.3cos2cos3sin2sin曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选C。6．（2006年浙江省预赛）已知两点A(1,2),B(3,1)到直线L的距离分别是25,2，则满足条件的直线L共有条.（C）A．1B．2C．3D．4解:由,5AB分别以A，B为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C。7．（2006年浙江省预赛）设在xOy平面上，20xy，10x所围成图形的面积为31，则集合},1),{(xyyxM}1),{(2xyyxN的交集NM所表示的图形面积为（B）A．31B．32C．1D．34解：NM在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此NM的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，NM的图形在第一象限的面积为A＝613121.因此NM的图形面积为32.所以选（B）。二、填空题部分1．（2006天津）已知椭圆12222byax（0ba），长轴的两个端点为A、B，若椭圆上存在点Q，使120AQB，则该椭圆的离心率e的取值范围是136e．2．（2006年江苏）已知030330yxyxy，则22xy的最大值是9．3．（2006吉林预赛）椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B，左焦点为F，若∠ABF是直角，则这个椭圆的离心率为_________。4．（2006陕西赛区预赛）若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c=0被椭圆22128xy截得线段的中点的轨迹方程为12)1()21(222yx5．(2005年浙江)根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（20）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是.【解】：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P),(yx.设机器人改变方向的点为A，aOA，bAP。则由已知条件有20102ba，以及bayaxsincos.所以有20)cos(sin400)(sin222222babayxbababayx即所求平面图形为弓形，其面积为200100平方米.6．（2006年浙江省预赛）已知RyxyxyxA,0)1)(sin1(2cos2),(22,AxyP(x,y)ORkkxyyxB,3),(。若BA为单元素集，则3k.解由1)1(sin1,cos0)sin1()cos(0)1)(sin1(2cos2222222yxyxyxyxyxBA为单元素集，即直线3kxy与1)1(22yx相切，则3k.7．(2005全国)若正方形ABCD的一条边在直线172xy上，另外两个顶点在抛物线2xy上.则该正方形面积的最小值为80.解：设正方形的边AB在直线172xy上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11yxC、),(22yxD，则CD所在直线l的方程,2bxy将直线l的方程与抛物线方程联立，得.1122,12bxbxx令正方形边长为,a则).1(20)(5)()(2212212212bxxyyxxa①在172xy上任取一点（6，,5），它到直线bxy2的距离为5|17|,baa②.①、②联立解得,80.63,3221abb或.80.12802min2aa8．（2004全国）在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标为_______________.解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为：222()(3)2(1)xayaa.对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足222(1)(3),aa解得a=1或a=－7。即对应的切点分别为'(1,0)(7,0)PP和，而过点M，N，'p的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以'MPNMPN，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。三、解答题部分1．(集训试题)已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。解：以l为x轴，点P到l的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x,0)，点A(k,λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r,0),N(x+r,0),P(2,0),PQ=222x=1+r。所以x=±322rr,∴tan∠MAN=krxhohrxhohrxhohrxrokkkkAMANAMAN11322232)32(2)(22222222222rrkrkhrhhrrrrhhrkxrh，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=n1，所以m+rk322rr=nhr，∴m+(1-nh)r=322rrk，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以)3()1()2(2)1(2)1(322222knhknhmkm，由（1）（2）式，得m=0,k=0，由（3）式，得n=h1.由2m=h2+k2-3得h=±3，所以tan∠MAN=n1=h=±3。所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q(0,0),r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°.2．（2006吉林预赛）已知抛物线C：x2=2py(p0)，O是坐标原点，M(0，b)(b0)为y轴上一动点，过M作直线交C于A、B两点，设S△ABC=mtan∠AOB，求m的最小值。（－0.5p2）3．（2006年南昌市）(高二)给定圆P:222xyx及抛物线S:24yx,过圆心P作直线l,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,,,ABCD,如果线段,,ABBCCD的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.解:圆P的方程为2211xy,则其直径长2BC,圆心为1,0P,设l的方程为1kyx,即1xky,代入抛物线方程得:244yky,设1122,,,AxyDxyxyoABCDP有442121yykyy,则212212214)()(yyyyyy故)4()()()(||22212212212212yyyyxxyyAD22221221)1(16])4(1[)(kyyyy,因此)1(4||2kAD据等差,BCADCDABBC2,所以63BCAD即6)1(42k,22k,则l方程为122yx或122yx.4．（2006年上海）已知抛物线22(0)ypxp，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为(0)的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点B，连接BO，交准线于点A，求四边形ABBA的面积．解:当2时，22ABBASp．…………………（4分）当2时，令tank．设1122(,),(,)AxyBxy，则由()2pykx，①22ypx，②消去x得，2220pyypk，所以122pyyk，212yyp．③又直线AO的方程为：11yyxx，即为12pyxy，所以，AO与准线的交点的坐标为21(,)2ppBy，B/A/FBAOxy而由③知，221pyy，所以B和B的纵坐标相等，从而BBx轴．同理AAx轴，故四边形ABBA是直角梯形．………………（9分）所以，它的面积为11()22ABBASAABBABABAB222121211()()2xxyyyy221211()12yyk212122111()42yyyyk332222221212(1cot)ppk．………………（14分）5．(2005年浙江)（20分）设双曲线122yx的左、右焦点分别为1F，2F，若21FPF的顶点P在第一象限的双曲线上移动,求21FPF的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边2PF上的切点轨迹。【解】如图，记双曲线在x轴上的两顶点为A(1,0)，B(-1,0)，G为21FPF的内切圆在边21FF上的切点，H为21FPF的内切圆在边2PF上的切点，K为21FPF的内切圆在边1PF上的切点。则有2121HFKFGFGF)()(21HPHFKPKF21PFPF----5分由双曲线的定义知，G必在双曲线上，于是G与A(1,0)重合，是定点。而1222AFGF。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，所以21FPF的内切圆在边2PF上的切点的轨迹是以)0,2(2F为圆心，12为半径的圆弧。-------10分因为),(yxP是在122yx第一象限的曲线上移动，当2PF沿双曲线趋于无穷时，与x轴正向的交角的正切的极限是121limtanlim2