高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)

（一）不等式1．(排序不等式）设,...21naaanbbb...21njjj,...,,21是n,...,2,1的一个排列，则..........221121112121nnjnjjnnnbababababababababan2．(均值不等式)设naaa,......,,21是n个正数，则naaan...21....21nnaaa3．（柯西不等式）设),...2,1(,niRbaii则.)())((211212iniiniiniibaba等号成立当且仅当存在R，使得),...,2,1(niabii.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设RbRaii,则.)()(11212niiniiniiibaba（2）设iiba,同号，且,0,iiba则.)()(1121niiiniiniiibaaba4．（Jensen不等式）若)(xf是),(ba上的凸函数，则对任意),(,...,,21baxxxn)].(...)()([1)...(2121nnxfxfxfnnxxxf5．（幂均值不等式）设)(0Rai则.)...()...(121121MnaaanaaaMnn证：作变换令iixa，则1iixa则.)...()...(12121nxxxxxxnMMnn因0所以,1则函数xxf)(是),0(上的凸函数，应用Jensen不等式即得。6．（切比雪夫不等式）设两个实数组naaa...21，nbbb...21则)....(1)...(12211111121nnniiniinnnbababannbnabababan（该不等式的证明只用排序不等式及niiniiba11的表达式就可得证）7．（一个基础不等式）yxyx)1(1其中]1,0[,0,yx证：若yx,中有一个为零，则结论成立。设yx,均不为零，则原不等式等价于不等式).1()()(yxyx令,tyx则上式).1(tt记,)1()(tttf则1)('ttf当;0)(',1tft0)(',10tft且,0)1('f所以函数)(tf在1t取得最小值0，从而可得证结论。8．（Holder不等式）设).,...2,1(0,nkbakk1,qp且111qp，则qnkqkpnkpkknkkbaba11111)()(（等号成立当且仅当qkpktba）证：在不等式7中令qkpkByAxp,,1则有.11qkpkkkBqApBA所以nkqknkpkknkkBqApBA11111令nkqqkkknkppkkkbbBaaA1111)(,)(则得证Holder不等式。*9.与对数函数有关的一个不等式xxxx)1ln(1，.0x（该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性）*10．三角函数有关的不等式xxxtansin)2,0(x*11。舒尔（Schur）不等式设Rzyx,,，则0))(())(())((yzxzzzyxyyzxyxx证明：首先考虑设Rzyx,,，则0))(())(())((yzxzzzyxyyzxyxxrrr由于对称性可设0zyx（1）当0r时左边0])()()[(21))(())(())((222222xzzyyxzxyzxyzyxyzxzzyxyzxyx所以结论成立；（2）当0r时0zy，0zx，0rryx左边0)())(())(())(())(())(())(())((2yxyzyyxyzxyxyzyyxyzxyxxzxzyzzyyxyzxyxxrrrrrrrr结论得证；（3）当0r时0yx，0zx，0rryz左边0)())(())(())(())(())(())(())((2zyyzyzxyzyyxyzxzyzzyyxyzxzyzzyyxyzxyxxrrrrrrrr结论得证。当1r时有0))(())(())((yzxzzzyxyyzxyxx*12。闵可夫斯基（Minkowski）不等式如果nxxx,......,,21与nyyy,......,,21都是非负实数1p，那么pnipipnipippiniiyxyx111111)()())((证明：11)()()(piiipiiipiiyxyyxxyx应用Holder不等式得ppiippipiiiyxxyxx1111))(()()(，ppiippipiiiyxyyxy1111))(()()(。从而得证。例1．设Rcba,,且,1abc求证.333222cbacba证：（1）由柯西不等式,)())((2222333cbacbacba而322222222223)()())(111()(3abccbacbacbacba由条件即得cbacba222所以结论成立。（2）由幂均值不等式（32,1）.)33()()3()3(3)3(32222132222222122222223222333cbacbacbacbacbacbacba（3）由切比雪夫不等式，不妨设cba，则.3))((222222333cbacbacbacba例2．设,1).,...,2,1(,01niiixnix求证.1111nxxxniiniii证：左边=niiniixx11111（由柯西不等式的变形.111121niiniixnx）又212112)1()1()(1(niiininixx即)1(11nnxnii所以.1)1()1(111211nnnnnnnxxniinii又niiniixxn1212221)]1...11)([(结合上述两式得证结论。例3：已知cba,,为满足1cba的正数，求证：.427111abccabbca证明：由柯西不等式的变形知.19)111(1112abcabcabcabccbaabccabbca而31)(312cbaabcabc所以原不等式成立。4．cba,,是正实数，求证：.8)(2)2()(2)2()(2)2(222222222bacbacacbacbcbacbaI证明：显然222222222)(2))(4(2)(2)()(44)(2)2(cbacbcbacbacbcbaacbacba同理22222)(2))(4(2)(2)2(acbacacbacbacb，22222)(2))(4(2)(2)2(bacbabacbacbac所以可得222222)(2))(4()(2))(4()(2))(4(6bacbabacacbacacbcbacbcbaI若bacacbcba4,4,4（*），则)(323)(22)(22232)(2)(2222cbacbcbacbcba即222)(32)(2cbacba同理222)(32)(2cbaacb，222)(32)(2cbabac所以831215221)(215296)(2)](5)(3[36)(2)222666(36)(2))(4(3)(2))(4(3)(2))(4(36)(2))(4()(2))(4()(2))(4(62222222222222222222222cbacbacbacbacbacbacbaacbcabcbababaccbaacacbcbacbcbabacbabacacbacacbcbacbcbaI（因为).(3)111)(()(2222222222cbacbacba）若上述假设（*）不成立，不妨设cba4，则2)(2))(4(2)(2)2(22222cbacbcbacbacba由柯西不等式)111]()([)]([2222222acbbacbb故3)(2)2(222acbacb，同理.3)(2)2(222bacbac所以.8I综上可知8I，当且仅当cba时等号成立。5．若zyx,,均大于1，求证.2111111222222yxzxzyzyxJ证明：事实上2222222222222222)111()]1)(1()1)(1()1)(1)[(111111(zyxyxzxzyzyxyxzxzyzyx故.23)(2)1()1()1()()()(23)(26662229)1)(1()1)(1()1)(1()3(2222222222222222222222222222222222222222224442222222222zyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxyxzxzyzyxzyxJ（当且仅当1zyx时等号成立）6.已知cba,,为正实数，证明：若4222abccba，则.3cba证：显然cba,,在区间[0，2]上，设cos2a，cos2b)2,0[,当c为正数时abccba222为增函数因此，对任意的正数ba,至多有一正数c满足4222abccba。下面证明)cos(2)cos(2c满足4222abccba事实上.1coscossinsincoscossinsincoscos2coscos2sinsincoscos2sinsincoscoscoscos)cos(coscos2)(coscoscos22222222222222222若2，则0)cos(2是c满足条件的唯一值。下面证明，若2则不存在满足条件的c。事实上，满足条件的c一定满足下面方程0)1cos(cos4coscos4222cc此时上面方程若有解21,cc，则0)1cos(cos40coscos4222121cccc从而21,cc均小于零，所以不存在满足条件的c。因此cos2,cos2,cos2cba（,,是一个锐角三角形的三个内角）则3)3cos(32)coscos(cos2cba（上式利用xcos是]2,0[上的凹函数）所以结论得证。7.已知正数naaa,......,,21，nbbb,.....