高中数学竞赛训练题五

数学竞赛训练题五一．选择题1．设全集U=R，203xAxx，2340Bxxx，则UAB（）uð等于A．4,2B．1,3C．3,4D．3,42．123()xx的展开式中，含有x的正整数次幂的项共有A．4项B．3项C．2项D．1项3．高三（10）班甲、乙两位同学6次数学测试的成绩如下表：123456甲122120125116120117乙118125120122115120仅从这6次考试成绩来看，甲、乙两位同学数学成绩稳定的情况是A．甲稳定B．乙稳定C．甲与乙一样稳定D．不能确定4．设,,为不同的平面，lnm,,为不同的直线，则m的一个充分不必要条件是A．lml,,B．//,,mC．,,//mD．mnn,,5．在ABC中，已知tansin2ABC，则A．tancot1AB.B．1sinsin12AB.C．22sincos1ABD．222cossincosABC6．已知定义在R上的函数yfx满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有(4)();fxfx②对于任意的1202xx，都有12()()fxfx；③(2)yfx的图象关于y轴对称．则下列结论中，正确的是A．(6.5)(5)(15.5)fffB．(5)(6.5)(15.5)fffC．(5)(15.5)(6.5)fffD．(15.5)(6.5)(5)fff7．A、B、C、D、E五个人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则B不住2号房间，且B，C两人要住编号相邻房间的住法种数为A．24B．36C．48D．608．椭圆222210xyabab的中心、右焦点、右顶点、右准线与x轴的交点依次为O、F、A、H，则OHFA的最小值为A．2B．3C．4D．不能确定9．某学校的生物实验室里有一个鱼缸，里面有12条大小差不多的金鱼，8条红色，4条黑色，实验员每次都是随机的从鱼缸中有放回的捞取1条金鱼.若该实验员每周一、二、三3天有课，且每天上、下午各一节，每节课需要捞一条金鱼使用，用过放回.则该实验员在本周有课的这三天中，星期一上、下午所捞到的两条金鱼为同色，且至少有一天捞到不同的颜色金鱼的概率是A．5681B．325729C．280729D．60472910．设方程22lg1xox的两根为1x，2x（1x2x），则A．120,0xxB．1201,2xxC．121xxD．1201xx二、填空题11.在坐标平面上，不等式组101yyx所表示的平面区域的周长为▲.12.已知函数()2sin()5fxx的图象与直线1y的交点中最近的两点间的距离为3，则函数()fx的最小正周期等于▲13．球O上两点A、B间的球面距离为2，AOB有一个内角为3，则此球的体积是▲.14．已知双曲线的两条渐近线的夹角为60，则其离心率为▲.15．若直线220(,0)axbyab始终平分圆224280xyxy的周长，则12ab的最小值为▲.16．已知函数fxxx(1nxn)，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－2.1]=－3，[－3]=－3，[2.5]=2.定义na是函数fx的值域中的元素个数，数列na的前n项和为nS，则满足nnaS500的最大正整数n=▲.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知326cos,tancot,9.5225BBAc（1）求tanB的值；（2）求ABC的面积。18.已知R（-3，0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足0RPPM，230PMMQ。（1）当点P在y轴上移动时，求M点的轨迹C的方程；（2）设AB、为轨迹C上两点，N（1，0），1Ax，0Ay，若存在实数，使ABAN，且163AB，求的值。19．如图，已知正三棱柱111ABCABC中，22AB，12AA，三棱锥PABC中，11PABBB平面，且3PAPB。（1）求证：11//PAABC平面；（2）求二面角1PACC的大小；（3）求点P到平面11BCCB的距离。20．设函数()|1||1|fxxax=+++，已知(1)(1)ff-=，且11()()ffaa-=（a∈R，且a≠0），函数32()gxaxbxcx（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。（1）试求a、b的值；（2）若0x时，函数()gx的图象恒在函数()fx图象的下方，求正整数c的值。PCBAC1B1A121．已知数列{an}满足218nnama，*nN，11a，m为正数.（1）若1nnaa对*nN恒成立，求m的取值范围；（2）是否存在m，使得对任意正整数n都有1920074na？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。数学竞赛训练题五答案一、选择题：（每小题5分，共50分）题号12345678910答案CBADDABCCD二、填空题：（每小题5分，共30分）11.442；12.；13.92；14.2或233；15.322；16.9.三、解答题：（5大题，共70分）17.（1）由22sincos12622tancot225sincossincos2222BBBBBBBB，得5sin13B------------3分34cos,sinsin,55AABB为锐角，12cos13B，-------5分5tan.12B--------------------------6分（2）sinsin()sincoscossinCABABAB412356351351365---8分又9c，sinsinacAC，得527a，--------------------------10分1152590sin9227137ABCSacB--------------------------12分（若通过26tancot,225BB得出126tan25tan2BB，求出1tan525B或，未舍去tan52B，tanB得两解，扣2分.）18.（1）设点(,)Mxy，由230PMMQ得(0,)2yP，(,0)3xQ，由0RPPM，得3(3,)(,)022yyx，------------------------4分即24(0)yxx.---------------------6分（2）由(1)知N为抛物线C：24yx的焦点，AB、为过焦点N的直线与C的两个交点.①当直线AB斜率不存在时，得1,2A，(1,2)B，1643AB.---8分②当直线斜率存在且不为0时，设:(1)ABykx，代入24yx得22222(2)0kxkxk.设1122(,),(,)AxyBxy，则212222(2)4162243kABxxkk，得3k，----12分（或2122414ABkxxk）1,0,3AAxyk，此时13,3ABxx，由ABAN得1343313BANAxxxx。---------------14分19.解法一：（1）在1RtABA中，22AB，12AA，∴12cos3ABA，取BC中点H，PAPB，PHAB，在RtPAH中，1PH，2cos3PAH，又1ABAPAH、均为锐角，∴1ABAPAH，---------------2分1//PAAB，又1PAC1在平面AB外，11//PAABC平面.---------------4分（２）∵平面PAB平面ABC，∴PHBC平面A，过H作HEAC于E，连结PE，则PEAC，PEH为二面角PACB的平面角，------------------------6分FEHA1B1C1ABCP易知132222HE=62，∴6tan3PHPEHHE，二面角1PACC的大小为6arctan23.------------------------9分（其它等价答案给同样的得分）（３）1//PHBB，P点到平面11BCCB的距离，就是H到平面11BCCB的距离，-------------------------------11分过H作HFBC于F，则11HFBCCB平面，HF的长度即为所求，由上62HFHE（或用等体积11PBBCCBBPVV求）----------------------------------14分解法二：如图，建立图示空间直角坐标系.则(1,0,0)P，(0,0,2)A，(0,0,2)B，(0,0,6)C，1(2,0,2)A.（1）12BCPB（2）利用121212cos,nnnnnn，其中12,nn分别为两个半平面的法向量，或利用1cos,CCEP求解.（3）利用PBndn，其中n为平面11BCCB的法向量。20.（1）f(1)f(1)，∴1a2a1①又11f()f()aa，∴11112aa，即1a2aa1②由①②得1a，a1.又a1时，①、②不成立，故a1.------2分∴32()gxxbxcx，设x1、x2是函数()gx的两个极值点，则x1、x2是方程/2()32gxxbxc=0的两个根，24120()bcc为正整数，∴x1+x2=23b，又∵A、O、B三点共线，321111xbxcxx=322222xbxcxx，∴1212()[()]xxxxb=0，又∵x1≠x2，∴b=x1+x2=23b，∴b=0.----------------6分（2）0x时，min()2fx，-----------------------7分由/2()30gxxc得3cx，可知()gx在(0,)3c上单调递增，在(,)3c上单调递减，2()()333333ccccccgxgc极大值.---------------------9分①由132233ccc得3,cc的值为1或2.（∵c为正整数）-----------------11分②13c时，记()gx在[1,]3cx上切线斜率为2的切点的横坐标为0x，则由/2()32gxxc得023cx，依题意得00()()gxfx，32000022,2,2,3cxcxxxcc得2,c与3c矛盾.（或构造函数2hxxgx在1x上恒正）综上，所求c的值为1或2.-----------------------14分21.（1）∵m为正数，218nnama①，1a=1，∴na0（n∈N*），………1分又218nnama②，①—②两式相减得1118()()()nnnnnnaaaaaa，∴1nnaa与1nnaa同号，---------------------4分∴1nnaa对n∈N*恒成立的充要条件是21aa0.---------------------7分由21aa=118m0，得m7.---------------------8分（2）证法1：假设存在m，使得对任意正整数n都有1920074na.则294a，则m17.--------------------9分另一方面，1nnaa=21()8nnmaa=2116(4)88nma168m，---------11分∴21aa1