高中数学竞赛试题

数学竞赛试题1.把10人平均分成两组，再从每组选正、付组长各一人，一共有多少种选法？2.已知：sinα+sinβ=P,cosα+cosβ=q,求sin（α+β）和cos（α+β）的值。3.解方程组：{√x−1+√y−3=√x+ylg(x−10)+lg(y−6)=14.如果一个直角三角形的三边之长成等差数列，那么，它们的比是：3：4：5，试加以证明。5.D为正三角形ABC外接圆圆弧BĈ上一点，AB和CD的延长线交于E，AC和BD的延长线交于F。求证：线段BC为线段BE和CF的比例中项。6.已知：2lg(x-2y)=lgx+lgy，求x:y7.已知：正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，求证：r+R=12ctgπ2n8.求（1+x)3+（1+x)4+（1+x)5+⋯..+（1+x)n+2展开式里x2的系数。9.设有一个凸n边形，我们把任意两个不相邻的顶点的连线叫做它的对角线。假定设有任意三条对角线交于（凸n边形内部）一点，求这些对角线彼此（在凸n边形内部）的交点总数。10.一个梯形的上底为a，下底为2a，一腰为b，且这腰和下底的夹角为α（锐角），如果以这个腰为轴，把梯形旋转一周，求所成旋转体的体积。11.已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都整数，并且bd+cd是奇数。证明，这多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。12.在平面上有5个点，其中任何三点不在一条直线上，任何四点不在一个圆上。证明：一定能通过其中三点作一个圆，使得其余的两个点一个在圆内，一个在圆外。13.在一个边长为1的正六边形内部有一点P，已知P到某两个顶点的距离分别是1312和512，求P到其余四个顶点的距离。14.已知：a是正整数，r=√a+1+√a，求证：对于每个正整数n，必有一个正整数an满足r2n+r-2n=4an+2及rn=√an+1+√an15.设p(x)=akxk+ak−1xk−1+⋯+a1x+a0，式中各系数aj(j=0,1,…,k)都是整数。今设有四个不同整数x1,x2,x3,x4，使p(xi)(i=1,2,3,4)都等于2.试证明：对于任何整数x,p(x)决不等于1，3，5，7，9中的任何一个。16.在一个边长为1的正方形内，任意给定9个点。试证明：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于18.17.已知平面上有2n+3（n≥1）个点，其中没有三个点共线，也没有四个点共圆。能不能通过它们之中的某三个点作一个圆，使得其余的2n个点一半在圆内，一半在圆外？证明你的结论。18.设有2n个球分成了许多堆，我们可以任意选择甲乙两堆来按以下规则挪动：若甲堆的球数P不少于乙堆的球数q，则从甲堆拿9个球放到乙堆里去，这样算是挪动一次。证明：可以经过有限多次挪动把所有的球合并成一堆。19.当a,b,c为实数的时候，求证方程：x2-(a+b)x+(ab-c2)=0有两个实数根，并救出这两个根相等的条件。20.已知正数a1,a2,a3…,an成等差数列，求证：1√a1+√a2+1√a2+√a3+。。。+1√an−1+√an=n−1√a1+√an21.设A+B+C=180°,求证：sin2A+sin2B+sin2C−2cosAcosBcosC=222.自圆O外一点P向圆O作切线PA，切点为，再由PA的中点M作圆O的割线和圆O交于B、C两点，PB、PC分别交圆O于D点和E点，求证：DE//PA。23.当m是什么实数的时候，方程x2+(m+2)x+(m+5)=0的两根都是正数？24.解方程组{lgx+lgy=1x2+y2−3x−3y=825.正立方体的棱长为a，二对角线的交角为θ，求sinθ值。26.已知x+1x=2cosα,求证：xn+1xn=2cosnα27.证明：无论n是什么整数，方程x2-16nx+75=0没有整数解28.把平行四边形内部一点与四个顶点联起来，就等到四个三角形。试找出一点，它所决定的四个三角形的面积可以排成等比数列，并证明这样的点是唯一的。29.把1600颗花生，分给100只猴子。证明：不管怎样分，至少有4只猴子得到的花生一样多。并设计一种分法，使得没有5只猴子得到一样多的花生。30.设平面上有6个圆，每个圆的加以都在其余各圆的外部。证明：平面上任一点都不会同时在这6个圆的内部。31.求和：S=m!+(m+1)!1!+(m+2)!2!+(m+3)!3!…+(m+n)!n!32.任意剪6个圆形纸片放在桌面上，使得没有一个纸片的中心落在另一纸片之上，或被另一纸片盖住，然后用一枚针去扎这一堆纸片。证明：不论针尖落在哪一点，总是不能一次把6个纸片全部扎中。33.某卡车只能带L公升汽油，用这些油可以行驶a公里。现在要行驶d=43a公里到某地，途中没有加油的地方，但可以先运汽油到路旁任何地点存储起来，准备后来之用。假定只有这一辆卡车，问应如何行驶，才能到达目的地，并且最省汽油？如果到目的地的距离是d=2315a公里，又应如何？34.一群小孩围坐一圈分糖果，老师让他们先每人任取偶数块，然后按下列规则调整，所有的小孩同时把自己的糖分一半，给右边的小孩，糖的块数变奇数的人，向老师补要一块。证明：经过有限次调整之后，大家的糖就变得一样多了。35.若0x1，化简(√1+x√1+x−√1−x+1−x√1−x2+x−1)x(√1x2−1−1x)36.已知tgα及tgβ为x2+px+q=0的二根，求sin2(α+β)+psin(α+β)cos(α+β)+qcos2(α+β)之值37.设ABCD为圆内接四边形，对角线AC平分BD于E，试证：AB2+BC2+CD2+DA2=2AC238.若一直角三角形的外接圆半径为R，其内切圆半径为r，与斜边相切的旁边圆半径为t，若R为r及t的比例中项，证明这直角三角形为等腰直角三角形。39.设方程x4+13sinα∙x2+1200cosπ3=0的四根成等差数列，其中α在0与2π之间，求此α角，并求此四根之值。40.假设x,y,z都是实数，又知道它们满足x+y+z=a,x2+y2+z2=a22(a0)，试证：x,y,z都不能是负数，也都不能大于23a41.解方程x4+(x−4)4=62642.设A+B+C=π,sinA-sinB=sinB-sinC，求证ctgA2∙ctgC2=343.求23！+34！+45！+。。。+1920！的近似值，精确到第三位小数44.求下列方程组的整数解{xx+y=y60yx+y=x1545.Π是圆周率，试证3.1Π446.方程sin2A+sin2B+sin2C=1中设A,B,C都是锐角，求证π2≤A+B+≤π47.设A为圆O外面的一点，试叙述如何在OA直线上求一点P，使得在通过P点的切线上，在切点与P之间的线段之长等于PA的K倍（K为正整数）。48.在空间已给两条平等直线，并在此两平等线所决定的平面以外给定一点，要求只用直尺过此点作一直线与此两平等线相平等。49.证明n3+32n2+12n−1对任何正整数n都是整数，并且用3除时余2.50.设方程x2−px+q的两根为r和s，且它们都不等于0，求以r2+1s2和s2+1r2为根的方程（不必解出原方程）。51.试证恒等式12+cosx+cos2x+。。。+cosnx=sin(n+12)x2sinx252.设C1，C2是给定的两个圆，又C1，C2不相交，并且一个在另一个的外部。由一点P作C1C2的切线PT1,PT2，设PT1=PT2，求P点的轨迹。53.有一群儿童，他们的年龄之和是50岁，其中最大的13岁，有一个是10岁；除去10岁的这个儿童之外，其余儿童的年龄恰好组成一个等差级数。问有几个儿童？每个儿童几岁？54.证明√1+23√733+√1−23√733=1，这里的两个三次根都取实值。55.在平面上任取三点，其坐标均为整数（正整数，负整数或零），证明此三点不能组成正三角形。56.证明：空间中不可能有这样的多面体存在，它们有奇数个面，而它们的每个面又都有奇数条边。57.已给一长方体，三棱不等。现在要由一顶点沿表到对角顶点，求最短的路线。58.解方程{x2=6+(y−z)2y2=2+(z−x)2z2=3+(x−y)259.求x2−2xsinπ2+1=0的所有实根60.在已知平面的一侧有不共线的三个定点。如果有一个球通过这三点并且与平面相切，求这切点的位置。