高中数学竞赛培训教材

高中数学竞赛培训教材编者：全国特级教师(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。2.设M={a|a=x2-y2,x,y∈Z}.求证：（1）一切奇数属于M;（2）4k-2(k∈Z)不属于M;（3）M中任意两个数的积仍属于M。3.已知函数f（x）=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:AB;(2)若A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素的确定例2．已知集合M＝{X，XY，lg(xy)}，S＝{0，∣X∣，Y}，且M＝S，则(X＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2002＋1/Y2002)的值等于().分析：解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解，对于两个相等的有限集合(数集)，还会用到它们的简单性质：(a)相等两集合的元素个数相等；(b)相等两集合的元素之和相等；(c)相等两集合的元素之积相等.解：由M＝S知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以XY≠0，故X，Y均不为零，所以只能有lg(XY)＝0，从而XY＝1.∴M＝{X，1，0}，S＝{0，∣X∣，1/X}.再由两集合相等知当X＝1时，M＝{1,1，0}，S＝{0,1，1}，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故X＝1不满足题目要求；当X＝－1时，M＝{－1,1，0}，S＝{0,1，－1}，M＝S，从而X＝－1满足题目要求，此时Y＝－1，于是X2K＋1＋1/Y2K＋1＝－2(K＝0,1，2，……)，X2K＋1/Y2K＝2(K＝1,2，……),故所求代数式的值为0.练习:4.已知集合54321,,,,aaaaaA，2524232221,,,,aaaaaB，其中54321,,,,aaaaa是正整数，且54321aaaaa，并满足41,aaBA，BAaa若,1041中的所有元素之和为234，求集合A。三．容斥原理基本公式:(1)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)问题：开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？设A＝{参加游泳比赛的同学}，B＝{参加田径比赛的同学}，C＝{参加球类比赛的同学},则card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(A∪B∪C)=28,且card(A∩B)=3，card(A∩C)=3，card(A∩B∩C)=0,由公式②得28＝15＋8＋14－3－3－card(B∩C)+0,即card(B∩C)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15－3－3＝9(人)四、有限集合子集的个数例3．一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。分析：两位数共有10,11，……,99，计99－9＝90个，最大的10个两位数依次是90,91，……,99，其和为945，因此，由10个两位数组成的任意一个集合中，其任一个子集中各元素之和都不会超过945，而它的非空子集却有210－1＝1023个，这是解决问题的突破口。解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有210＝1024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过90＋91＋…98＋99＝9451023，根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。如此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求；如果这2个子集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其所含各数之和相等。说明：此题构造了一个抽屉原理模型，分两步完成，计算子集中数字之和最多有945个“抽屉”，计算非空子集得1023个“苹果”，由此得出必有两个子集数字之和相等。第二步考察它们有无公共元素，如无公共元素，则已符合要求；如有公共元素，则去掉相同的数字，得出无公共元素并且非空的两个子集，满足条件。例4．设A＝{1,2，3，…，n}，对XA，设X中各元素之和为Nx，求Nx的总和.解：A中共有n个元素，其子集共有2n个。A中每一个元素在其非空子集中都出现了2n-1次，(为什么？因为A的所有子集对其中任一个元素i都可分为两类，一类是不含i的，它们也都是{1,2，…，i-1,i+1,…n}的子集，共2n-1个；另一类是含i的，只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去)。因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时，A中每一个元素都加了2n-1次，即出现了2n-1次，故得＝1×2n-1＋2×2n-1＋…＋n……2n-1＝(1＋2＋…＋n)·2n-1＝n(n+1)/2×2n-1＝n(n+1)×2n-2说明：这里运用了整体处理的思想及公式1＋2＋…＋n＝(1/2)n(n+1)，其理论依据是加法的交换律、结合律、乘法的意义等,集合中每一个元素都在总和中出现了2n-1次，是打开解题思路之门的钥匙。练习:5.设集合A{1,2,3,……,100},且对任意x,y∈A,必有2x≠y,求集合A中所含元素个数的最大值.6.某地区网球俱乐部都有20名成员,举行14场单打比赛,每人至少上场1次.求证:必有6场比赛,其12名参赛者各不相同.(二)二次函数一、二次函数的解析式:①定义式：f(x)=ax2+bx+c.②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k.③零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2).(a≠0)二、二次函数的最值:当自变量的取值范围为闭区间[p,q]时，其最值在f(p)、f(q)、f(-b/2a)三者中取得，最值情况如下表：-b/2a∈[p,q]-b/2a[p,q]a0fmin=f(-b/2a)=((4ac-b2)/4a)fmax=max{f(p),f(q)}fmin=min{f(p),f(q)}fmax=max{f(p),f(q)}a0fmax=f(-b/2a)=((4ac-b2)/4a)fmin=min{f(p),f(q)}例1.当x为何值时，函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取最小值。解：∵f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+…+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2…+an)x+(a12+a22+…+an2)∴当x=(a1+a2+…+an)/n时，f(x)有最小值.例2.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根，x12+x22的最大值是____.解：由韦达定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5.∴x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.已知x1,x2是方程的两个实根，即方程有实数根，此时方程的判别式Δ≥0，即Δ＝(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16≥0解得：-4≤k≤-4/3.∵k=-5[-4,-4/3]，设f(k)=-(k+5)2+19则f(-4)=18,f(-4/3)=50/918.∴当k=-4时，(x12+x22)max=18.例3.已知f(x)=x2-2x+2，在x∈[t,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。解：f(x)=(x-1)2+1(1)当t+11即t0时，g(t)=f(t+1)=t2+1(2)当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g(t)=f(1)=1(3)当t1时，g(t)=f(t)=t2-2t+2综合（1）、（2）、（3）得：例4．（1）当x2+2y2=1时，求2x+3y2的最值；（2）当3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最值。解：（1）由x2+2y2=1得y2=1/2(1-x2)，2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2))(x-(2/3))2+(13/6)又1-x2=2y2≥0，∴x2≤1，－1≤x≤1.∴当x=2/3时，y=(√10)/6，（2x+3y2）max=16/3；当x=-1时，y=0，（2x+3y2）min=－2(2)由3x2+2y2=6x，得y2=(3/2)x(2-x)，代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2(x-3)2+9/2又y2=(3/2)x(2-x)≥0，得0≤x≤2.当x=2，y=0时，（x2+y2）max=4；当x=0，y=0时，(x2+y2)min=0三、二次函数与二次方程设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f(x)的图象有下列两种情形当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f(β)＞0当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f(β)＜0两种情形合并后的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af(β)＞0①2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形从四种情形得充要条件是：f(α)·f(β)＜0②3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形当x1＜x2＜α时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＜α，af(α)＞0④当β＜x1＜x2时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＞β，af(β)＞0⑤例5．如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1，确定m的范围。解：令f(