高中数学竞赛教材讲义 第十二章 立体几何

第十二章立体几何一、基础知识公理1一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内．则这条直线在这个平面内，记作：aa．公理2两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。公理3过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面．推论l直线与直线外一点确定一个平面．推论2两条相交直线确定一个平面．推论3两条平行直线确定一个平面．公理4在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．定义1异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．定义2直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．定义3直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．定理2两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．定理3若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．定理4平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．定义5一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．结论1斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．定理4(三垂线定理)若d为平面。的一条斜线，b为它在平面a内的射影，c为平面a内的一条直线，若cb，则ca．逆定理：若ca，则cb．定理5直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行定理6若直线。与平面α平行，平面β经过直线a且与平面a交于直线6，则a//b．结论2若直线。与平面α和平面β都平行，且平面α与平面β相交于b，则a//b．定理7(等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等．定义6平面与平面的位置关系有两种：平行或相交．没有公共点即平行，否则即相交．定理8平面a内有两条相交直线a，b都与平面β平行，则α//β.定理9平面α与平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，则a//b．定义7(二面角)，经过同一条直线m的两个半平面α,β(包括直线m，称为二面角的棱)所组成的图形叫二面角，记作α—m—β，也可记为A—m一B，α—AB—β等．过棱上任意一点P在两个半平面内分别作棱的垂线AP，BP，则∠APB(≤900)叫做二面角的平面角．它的取值范围是[0，π]．特别地，若∠APB＝900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即αβ.定理10如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．定理11如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内．定理12如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直．定义8有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．两个互相平行的面叫做底面．如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是矩形的直棱柱叫做长方体．棱长都相等的正四棱柱叫正方体．定义9有一个面是多边形(这个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．定理13(凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则V+F-E=2．定义10空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面．球面所围成的几何体叫做球．定长叫做球的半径，定点叫做球心．定理14如果球心到平面的距离d小于半径R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直．设截面半径为r，则d2+r2＝R2．过球心的截面圆周叫做球大圆．经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离．定义11(经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线．纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度．用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经．定理15(祖原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.定理16(三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角．其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于3600．定理17（面积公式）若一个球的半径为R，则它的表面积为S球面=4πR2。若一个圆锥的母线长为l，底面半径为r，则它的侧面积S侧=πrl.定理18（体积公式）半径为R的球的体积为V球=334R；若棱柱（或圆柱）的底面积为s，高h，则它的体积为V=sh；若棱锥（或圆锥）的底面积为s，高为h，则它的体积为V=.31sh定理19如图12-1所示，四面体ABCD中，记∠BDC=α，∠ADC=β，∠ADB=γ，∠BAC=A，∠ABC=B，∠ACB=C。DH平面ABC于H。（1）射影定理：SΔABD•cosФ=SΔABH，其中二面角D—AB—H为Ф。（2）正弦定理：.sinsinsinsinsinsinCBA（3）余弦定理：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα.（4）四面体的体积公式31VDH•SΔABC=coscoscos2coscoscos161222abcsin611daa（其中d是a1,a之间的距离，是它们的夹角）a32SΔABD•SΔACD•sinθ(其中θ为二面角B—AD—C的平面角)。二、方法与例题1．公理的应用。例1直线a,b,c都与直线d相交，且a//b,c//b，求证：a,b,c,d共面。[证明]设d与a,b,c分别交于A,B,C,因为b与d相交，两者确定一个平面，设为a.又因为a//b，所以两者也确定一个平面，记为β。因为A∈α，所以A∈β，因为B∈b，所以B∈β，所以dβ.又过b,d的平面是唯一的，所以α，β是同一个平面，所以aα.同理cα.即a,b,c,d共面。例2长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件？[解]充要条件。先证充分性，设图12-2中PQRSTK是长方体ABCD-A1B1C1D1的正六边形截面，延长PQ，SR设交点为O，因为直线SR平面CC1D1D，又O∈直线SR，所以O∈平面CC1D1D，又因为直线PQ平面A1B1C1D1，又O∈直线PQ，所以O∈平面A1B1C1D1。所以O∈直线C1D1，由正六边形性质知，∠ORQ=∠OQR=600，所以ΔORQ为正三角形，因为CD//C1D1，所以ROSRRCCR1=1。所以R是CC1中点，同理Q是B1C1的中点，又ΔORC1≌ΔOQC1，所以C1R=C1Q，所以CC1=C1B1，同理CD=CC1，所以该长方体为正方体。充分性得证。必要性留给读者自己证明。2．异面直线的相关问题。例3正方体的12条棱互为异面直线的有多少对？[解]每条棱与另外的四条棱成异面直线，重复计数一共有异面直线12×4=48对，而每一对异面直线被计算两次，因此一共有24824对。例4见图12-3，正方体，ABCD—A1B1C1D1棱长为1，求面对角线A1C1与AB1所成的角。[解]连结AC，B1C，因为A1A//B1B//C1C，所以A1A//C1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1//AC。所以AC与AB1所成的角即为A1C1与AB1所成的角，由正方体的性质AB1=B1C=AC，所以∠B1AC=600。所以A1C1与AB1所成角为600。3．平行与垂直的论证。例5A，B，C，D是空间四点，且四边形ABCD四个角都是直角，求证：四边形ABCD是矩形。[证明]若ABCD是平行四边形，则它是矩形；若ABCD不共面，设过A，B，C的平面为α，过D作DD1α于D1，见图12-4，连结AD1，CD1，因为ABAD1，又因为DD1平面α，又ABα，所以DD1AB，所以AB平面ADD1，所以ABAD1。同理BCCD1，所以ABCD1为矩形，所以∠AD1C=900，但AD1AD,CD1CD，所以AD2+CD2=AC2=2121CDAD，与2121CDADAD2+CD2矛盾。所以ABCD是平面四边形，所以它是矩形。例6一个四面体有两个底面上的高线相交。证明：它的另两条高线也相交。[证明]见图12-5，设四面体ABCD的高线AE与BF相交于O，因为AE平面BCD，所以AECD，BF平面ACD，所以BFCD，所以CD平面ABO，所以CDAB。设四面体另两条高分别为CM，DN，连结CN，因为DN平面ABC，所以DNAB，又ABCD，所以AB平面CDN，所以ABCN。设CN交AB于P，连结PD，作'CMPD于'M，因为AB平面CDN，所以AB'CM，所以'CM平面ABD，即'CM为四面体的高，所以'CM与CM重合，所以CM，DN为ΔPCD的两条高，所以两者相交。例7在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中点，沿BE将ΔABE折起，并使AC=AD，见图12-6。求证：平面ABE平面BCDE。[证明]取BE中点O，CD中点M，连结AO，OM，OD，OC，则OM//BC，又CDBC，所以OMCD。又因为AC=AD，所以AMCD，所以CD平面AOM，所以AOCD。又因为AB=AE，所以AOBE。因为ED≠BC，所以BE与CD不平行，所以BE与CD是两条相交直线。所以AO平面BC-DE。又直线AO平面ABE。所以平面ABE平面BCDE。4．直线与平面成角问题。例8见图12-7，正方形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G为BF的中点，将正方形沿EF折成1200的二面角，求AG和平面EBCF所成的角。[解]设边长AB=2，因为EF//AD，又ADAB。所以EFAB，所以BG=52121BF，又AEEF，BEEF，所以∠AEB=1200。过A作AMBE于M，则∠AEM=600，ME=2121AE，AM=AEsin600=23.由余弦定理MG2=BM2+BG2-2BM•BGcos∠MBG=2345495135232252322=2，所以MG=.2因为EFAE，EFBE，所以EF平面AEB，所以EFAM，又AMBE，所以AM平面BCE。所以∠AGM为AG与平面EBCF所成的角。而tan∠AGM=46223。所以AG与平面EBCF所成的角为46arctan.例9见图12-8，OA是平面α的一条斜角，ABα于B，C在α内，且ACOC，∠AOC=α，∠AOB=β，∠BOC=γ。证明：cosα=cosβ•cosγ.[证明]因为ABα，ACOC，所以由三垂线定理，BCOC，所以OAcosβ=OB,OBcosγ=OC,又RtΔOAC中，OAcosα=OC，所以OAcosβcosγ=OAcosα，所以cosα=cosβ•cosγ.5．二面角问题。例10见图12-9，设S为平面ABC外一点，∠ASB=450，∠CSB=600，二面角A—SB—C为直角二面角，求∠ASC的余弦值。[解]作