高中数学竞赛讲座---如出一辙的三道奥赛题

如出一辙的三道奥赛题近日笔者在学校竞赛辅导备课中，搜集到三到国际奥赛题，仔细研究后发现三到奥赛题均可以利用切线法解决，现整理成文供广大竞赛爱好者参考借鉴例1（日本奥林匹克数学竞赛试题）已知0cba,,，求证：222acbacb)()(222bcabca)()(53222cabcab)()(证明：令cbaax1，cbabx2cbacx3,,易得1321xxx且0321xxx,,原不等式分式中上下同除以2)(cba得212121121xxx)()(222122121xxx)()(232323121xxx)()(12216121xx1221222xx1221323xx,即证1221121xx1221222xx1221323xx527,易得12212xx在点),(5931的切线为25272554xy.下证12212xx25272554x（10x）x、y.化简即证明:025410823xx令)(xf25410823xx（10x）.xxxf1083242)(/0131x031)()(minfxf得证.1221121xx1221222xx1221323xx52725812554321)(xxx.得证，当且仅当31321xxx，即cba时取等例2（2005年塞尔维亚数学奥林匹克竞赛题）已知),(,,0zyx，求证：)(zyxyxzxzyzyx23证明:令zyxS，Sxx1，Syx2，Szx3；则1321xxx.)(zyxyxzxzyzyx2323SzSzSySyxSSx23111332211xxxxxx.易得xx1在点),(3631的切线为246865xy下证2468651xxx，),(10x，令)(xg2468651xxx；8651122xxxxg)()(/，),(10x；令)(xtxxx1122)(，得014413)()()(/xxxxt)(xt在),(10上单调递增，由)()()(/31txtxg,得当),(131x时0)(/xg，)(xg单调递增；当),(310x时0)(/xg，)(xg单调递减；031)()(gxg得证332211111xxxxxx2463865321)(xxx23.当且仅当31321xxx，即zyx时取等定理（推广）:若0ix，Ni且11niix则11111332211nnxxxxxxxxnn（证明略，方法同上）例3（2003年美国奥林匹克竞赛试题第5题）设0cba,,；证明22222)()(cbacba22222)()(cabcab822222)()(abcabc,证明:令cbaS，Sax1，Sbx2，Scx3；则1321xxx将22222)()(cbacba22222)()(cabcab22222)()(abcabc中分式上下同除以2S,化简得12312121121xxxx12312222222xxxx812312323323xxxx,易得1231222xxxx在点),(3831的切线为344xy.下证1231222xxxx344x，),(10x,化简即证012153623xxx.令)(xf12153623xxx,))(()(/132362301082xxxxxf,易得)(xf在),(310单调递减，在),(131单调递增；031)()()(minfxfxf得证12312121121xxxx12312222222xxxx412312323323xxxx)(321xxx8312得证当且仅当31321xxx，即cba时取等总结:对于形如“已知0ix，Ni且axnii1，求证Mxfnii)()(1”的不等式问题均可以采用构造)())(()()(/nafnaxnafxf后累加．