高中数学竞赛讲义---代数式的恒等变换方法与技巧

1—1代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。定义2如果两个代数式A、B，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B。两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但在另一个子集内可能不恒等。例如，2xx，在x≥0时成立，但在x0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。定义3把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx2的定义域是(,0)(0,)，2lgx的定义域是(0,)，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)内，才有恒等式lgx2=2lgx。由lgx2变形为2lgx时，定义域缩小了；反之，由2lgx变形为lgx2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。例1：设p为实常数，试求方程2221xpxx有实根的充要条件，并求出所有实根。由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。解：原方程等价于22222(21)210,0xpxxxxx2222222(4)41448(2)441330440,0pxxxxppxxxxpx222(4)8(2)44,043pxppxx由上式知，原方程有实根，当且仅当p满足条件24(4)44048(2)33pppp这说明原方程有实根的充要条件是403p。这时，原方程有惟一实根48(2)pxp。二、恒等变换的方法与技巧恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。1．分类变换当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。例1：当x取什么样的实数值时，下列等式成立：（a）21212xxxx；（b）21211xxxx；（c）21212xxxx。解：我们来求解更一般的方程：2121(0)xxxxmm记方程左边为f(x)，则11()(212221)(212211)22fxxxxx221,122|211||211|1222,12xxxx由此可知，当2m时，原方程的解集为1[,1]2；当[0,2)m时，解集为；当(2,)m时，原方程变形为221xm，解得21(2)4xm。即当(2,)m时，原方程的解集为21{(2)}4m。例2：在复数范围内解方程组2225553,3,3.xyzxyzxyz解：考虑数列*,nnnnaxyznN。不难证明此数列满足递推式321()()nnnnaxyzaxyyzzxaxyza，其中1253,3aaa。利用基本恒等式，得2121()32xyyzzxaa，312311[()]33xyzaaaxyyzzxa，∴{}na的递推式化为*3213133,3nnnnaaaaanN由此得432313543323113349,33102733aaaaaaaaaaaa由53a，得310273a，∴33a。∴3113xyza。综上所述知，原方程组等价于3,3,1.xyzxyyzzxxyz由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程333310ttt的三根，此三次方程即3123(1)0,1tttt，这说明原方程组在复数范围内的解集为{（1，1，1）}。注：此题还可以利用三次单位根1322i的性质来解。2．利用对称性定义4一个n元解析式12(,,,)nfxxx称为对称式，当且仅当对于任意的i，(1)jijn都有11(,,,,,,)(,,,,,,)ijnjinfxxxxfxxxx。由定义可知，对称式的各变元所处的地位相同，因此，一个对称式12(,,,)nfxxx具有下列性质：（1）若对于变元x1，x2，f具有性质p，则对于任意的变元,,ijxxf也具有性质p。（2）对于x1，x2，…，xn的任意排12,,,iiinxxx，有1212(,,,)(,,,)iiinnfxxxfxxx，因此，对于讨论f具有某一性质时，可不妨设12nxxx。定义5一个n元解析式称为轮换对称式，当且仅当x2代x1，x3代x2，…，xn代xn-1，x1代xn时有12231(,,,)(,,,,)nnfxxxfxxxx。显角，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，x2y+y2z+z2x是轮换式，但不是对称式。因此，对称式所具有的性质（1）、（2）对轮换式一般不成立。由轮换的特点，在解题中，为了方便起见，我们可指定变元中x1最大（或最小）。例3：设x，y，z0，求证(x+y+z)5-(x5+y5+z5)≥10(x+y)(y+z)(z+x)(xy+yz+zx)等号成立当且仅当x=y=z。证：令5555(,,)()()fxyzxyzxyz。易知(,,fxyz）是对称式。∵当x+y=0时，f(x，y，z)=0，∴()|(,,)xyfxyz。从而()|,()|yzfzxf，∴()()()|xyyzzxf。注意到f是关于x，y，z的五次齐次式，故可设222(,,)()()()[()]()fxyzxyyzzxAxyzBxyyzzx,令0,1,1xyz，得2A+B=15。令1xyz，得A+B=10。因此，A=B=5。∴222(,,)5()()()()fxyzxyyzzxxyzxyyzzx注意到,,0xyz，且222xyzxyyzzx，得(,,)10()()()()fxyzxyyzzxxyyzzx等号成立的条件为xyz。例4：设a，b，c是三角形的边长，证明222()()()0ababbcbccaca并说明等号何时成立。证：令欲证不等左边为(,,)fabc，则易证(,,)fabc为轮换式（非对称）。故可设,abc。注意到0bca，则可先考虑将f中分离出一个含b+c-a的非负式子。事实上222()()[()]()fababbcbccbbaca2222()()()()(2)()()cbabcaabbcabcacbababbcbc再令222*()()(2)()()fabbcabcacbababbcbc令ac，有222*()()()0fbcbccbcbbcbc令ab，有2222*()()(2)()0fbbcbcbcbbcbc∴**|,|acfabf。又*|bf，∴*()()bacabf。注意到*f关于c是二次式，a，b是三次式，故可设*()()()fbacabxaybzc令b=c，得22*()()[()]fabacbacxayzb，∴()axayzb，∴0,1yzx令a=0，得22*()()fbcbcbcybzc，∴bcybzc，∴1,1yz。于是2**()()0fbacabcaf。从而2*()()0fcbabcaf显然，当且仅当a=b=c时f=0。注：对于*f，也可直接通过提取公因式法来分解因式。事实上1222*()(2)()()()()bfacacbaacacbabcbcbc22()(2)()[]()(2)()()()()[2()]()[()()()]()()()acacabbcaabacbcacacabbccaabcaacaababacbcbcaabcbaabcabaabc3．逆推分析从一个数学过程的结果出发，按与原来相反的程序去推求初始条件的方法叫做逆推分析法，它的特点是每一步逆推均可逆。由此可见，逆推分析法是证明恒等式的重要方法。例5：设a，b，c，d，x，y为正实数，且满足,xadbcxyacbdyabcd。求证：abxcdxadybcyabxcdxadybcy。证：注意到,xxyy的表达式有()()abcdxcdabx()()()()()()()()abcdcdabxabcdabcdcdabyadbcadbcybcady利用①式，将欲证等式两边通分化简，等价于()()()()xadybcyyabxcdx②式左边=2()()()xadbcxyabcdxy2()()()xacbdxabcdxyabcdxy22()()xyyadbcxyabcdxy2[()()()]yxxabcdabcd()()yabxcdx②式右边。故原等式得证。4．整体代换把若干变元的整个式子换成一个新的字母，于是问题中的变元就减少了，有利于式的变形求解。例6：求出所有四元实数组1234(,,,)xxxx使其中任一数与其他三数的积之和都等于2。解：根据题意，四元数组1234(,,,)xxxx满足方程组；12342341341241232,2,2,2.xxxxxxxxxxxxxxxx易知，所有0(1,2,3,4)ixi。于是可作整体代换：令1234xxxxp，则上述每一个方程均可写成如下形式2iipxx，即220iixxp（p≠0），解之得11ixp,由于ix是实数，故1p。以下分两种情况讨论：（1）若p=1，则1,1,2,3,4.ixi（2）若p1，则有三种可能：（i）三个根为11p，一个根为11p，这时32(11)(11)(11)ppppp21(11)1111ppp。但这和p1的假设矛盾。（ii）三个根为11p，一个根为11p，这时3(11)(11)ppp22(11)1(11)(1)pppp1113pp，故有一个ix为3，其他三数为-1。（iii）两个根为11p，两个根为11p，这时222(11)(21)pppp，故p=1。这又和p1的假设矛盾。综上所述，原方程组共有五组不同的实数解：(1,1,1,1)(3,1,1,1),(1,3,1,1),(1,1,3,1)(1,1,1,3)。6．重新组合所谓重新组合是指把几个独立的式子依据某一运算组合成新的式子，其目的是使组合后的解析式变得简单，以便于问题求解。例8：确定所有能使不等式组2213523522241341223524522241351322524124()()0,()()0,()()0,()()0,()()0.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx