高中数学竞赛讲义---不等实局部与调整

局部与调整1．设iai＝1，2，…，n证明：111knnkikkkiaea这里1lim(1)nnen证：已知1(1)kk单调递增且收敛于e,则11(1)(1)iiiiieiii，记1(1)iiiibi则1(1)kkiibk由均值不等式11111111()1(1)1kkkkkkiiiiiiiiiiiaabababkkkkk所以11111111111()()11knnknknikiiiiiikkkiiikibaababaeakkini.证毕！2．设n个正实数ia(i＝1，2，…，n）满足1niian证明：211111nniiiiiaaa证：原不等式等价于231101niiiiiaaaa我们证明231114iiiiiaaaaa，即22(1)(23)04iiiaaa显然成立,所以231111014nniiiiiiiaaaaa.证毕！3．设a，b，c，d为正实数，满足abcd=1求证：111111111abbccabccdcbcddaacdaabbd证：只需证明11dabbccaabcd这等价于abcabbccad111abcabcabc显然成立.证毕！（调整）1．设整数n3非负实数ia(i＝1，2，…，n）满足12niia，令11naa，求2111niiiaa的最小值。解：由均值不等式2112211111112112nnnniiiiiiiiiiiiaaaaaaaa记11niiifaa对任意的ij，0ijaa，2ij，不妨设1111iijjaaaa令iijaaa，0ja，(,)kkaakij，则1111()0jjjiiffaaaaa如此进行至多n-2步调整，则当f最大时必有0,.1iaikk，1,kkaa中至少有一个不为0，且12kkaa,所以2112111113222()122222nikkkkiiaaafaaa,当121aa，其它为0时可取到。2．设整数n3非负实数ia(i＝1，2，…，n）满足11niia，求证：112(1)(1)(1)ijijnijaannaa证：对任意的ij，1(1)(1)ijijnijaaaa中与,ijaa相关的项为,()()(1)(1)111ijjkikijijkijaaaaafaaaaa,令ijaat，ijaar，,1kkijkaTa，代入f整理得2(2)112111trtrTrfTTrtrtrt.固定r后，f为关于t的函数，因为10rt，则f为关于t不增函数1(2)102rrTrTr.而由Cauchy不等式，22222,,,1(1)(1)(2)(1)()(1)(1)1312kkijkkkkijkijrrnrTaraaranrrn所以21(2)(1)1(1)(1)0232(3)(2)rnrrnrTrnrrnrr显然成立.所以f为关于t不增函数取1ijaan，ijaa，令11(,)(,)ijijaaaann，至多n-1次调整后可得左边.取不全为0的,ijaa，令(,)(0,)ijijaaaa，至多n-1次调整后可得右边.故原不等式成立，证毕！3．设x,y,z为正实数，满足x+y+z=1,求证：2222xyyzzx证：对任意的正实数,,,abcd.易知()()0abcdacbdacbd不失一般性，设max{,,}xxyz（1）xyz时，有2222,xzxyxxyyyzyz所以2222()()xyyzxxyzyyxyzz2222222222xxyyxzyzyzxyxxyyxyyzyzxzxyyzyzxz类似地，由2222,zyxzxxzzyzyz知2222222zxyzyzxzxxzzzyyzyzxz2222xxzzxzyzyzzyxzyz.上两式相加即得原不等式.（2）xzy时类似考虑即可.综上,原不等式成立，证毕！4．设x,y,z为非负实数，满足x+y+z=1,证明222427xyzxyyzzx证：不失一般性，设max{,,}xxyz因为222222()()()()()xyyzzxxzyxzyxyxzyz.只需考虑yz的情况（否则将,yz对换，原不等式左边不减）下设xyz，令222(,,)fxyzxyzxyyzzx，则(,,0)(,,)()()0fxzyfxyzzxyyz所以2312114(,,)(,,0)(1)()2327yyyfxyzfxzyyy，证毕！当11121(,,)(,.)(,,0)33333xyz或及其轮换排列时可取等号.