高中数学竞赛测试题

高中数学竞赛测试测试1.设cba、、为实数，xcxbxaxf3cos2coscos)(。已知对任意实数x,有1)(xf恒成立，求cba的最大值，及取得最大值的所有数组（cba,,）解：取2x，则1b，取x，则1cba，21bca，则3cba如果3cba，则2,1cab，ca2。设xtcos，11t1)34(12)2(32ttcttc整理得0)212(2ctctt，当01t时，02122ctct，令0t，021c，当10t时，02122ctct,令0t，021c，21c.)21,1,23(),,(cba2设序列{nx}、{ny}由311yx，211nnnxxx，211nnnyyy确定，求证;对任意正整数n有32nnyx。证明：211111nnnyyy，令nnyz1，则211nnnzzznnnyzx11（2n）。1nnnnxxyx，31nnxx13nnxx121231nnxx311nx.又}{nx单调递增，31311xxn，2n时，321nnnnxxyx，且1n时3nnyx对一切n都有32nnyx。3.如图，在ABC中，DACAB,是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且ACEDBED2.求证：CDBD2.(1992年全国初中数学联合竞赛二试第2题)证明：4.地面上有10只小鸟在啄食，其中任何5只鸟中至少有4只在一个圆周上，问有鸟最多的一个圆上至少有几只鸟？解：用平面上10个点来表示10只小鸟。如果这10个点中的任何4点都共圆。则这10个全在同一个圆上。以下设10个点中有4个点，不妨设A、B、C、D不共圆。这时，过这4点的任何不共线的3点都可以作一个圆周。最多可作出4个不同的圆周4321ssss、、、，最少也可作出3个不同的圆周（注意任5点中至少有4点共圆，即任5点中之多3点共线）对这两种情况，下面的论证完全一致。故只就4个不同的圆周的情况加以证明：从其余6个点P1、P2、P3、P4、P5、P6中任取一点Pi（61i），与A、B、C、D组成一个5点组。按已知条件其中必有4点共圆，所以Pi必在上述圆4321ssss、、、之一上。由于点Pi的任意性，知这其余6点中的每一点都必须落在这4个圆之一上，由抽屉原理知必有其中两个在同一个圆上，即这10个点必有5点共圆.现设1A、2A、3A、4A、5A在同一个圆1C上，但P、Q两点不在圆1C，这里iA（51i），P、Q都取自这10个点.下面证明P、Q两点都不在1C，必导致矛盾。（1）考察5点组：1A、2A、3A、P、Q，由题意其中必有4点共圆，记为圆2C，显然2C1C，因而1A、2A、3A不能全在2C，否则2C与1C重合。不妨设1A、2A、P、Q在圆2C上，于1211(180BED)(180BAC)22,,,.23..,,67,,.,,,.4556,AEBABGABCGEDBGBDFBDGFGBCACHHDAGAHAGABAEADAHACEDCHGBFHCDBFCD作的平分线交于点,则==四点共圆故为等腰三角形设为中点连则过点作GH叫与点连易知注意到四点共圆所以可知故于是2.BDCD是3A、4A、5A不在圆2C上.(2)考察5点组：3A、4A、5A、P、Q，由题意，其中其中必有4点共圆，记为圆3C,显然3C1C,3A、4A、P、Q共圆于3C,由于1A、2A、5A不在圆3C，可见3C2C（2）考察5点组：1A、3A、5A、P、Q由题意，其中其中必有4点共圆，记为圆4C,显然4C1C，因而1A、3A、5A不能全在4C，故P、Q及1A、3A中至少有一个在4C上，如果1A4C，则4C=2C，但3A、5A2C，而3A、5A之一属于4C，矛盾如果3A4C,则4C=3C,但1A、5A3C，故也不能属于4C，这不不可能。综上圆1C上至少有9个点，知鸟最多的一个圆上至少有9只鸟.