高中数学竞赛_1

浙江省高二数学竞赛模拟试卷（1）班姓名一、选择题（每题6分共36分）1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有[]个A.360B.252C.720D.2402.已知数列{na}(n≥1)满足2na=1na-na，且2a=1,若数列的前2005项之和为2006，则前2006项的和等于[]A.2005B.2006C.2007D.20083.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是060，又侧棱与底面所成的角都是045，则这个棱锥的体积是[]A.1B.3C.43D.234.若nnnxaxaxaax2222102)42((n∈N+),则naaa242被3除的余数是[]A.0B.1C.2D.不能确定5.已知)2,2(,yx，且1xy，则224422yx的最小值是[]A、720B、712C、72416D、724166.在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为3的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是[]A.17B.16C.11D.10二、填空题（每题9分共54分）7.在锐角三角形ABC中，设tanA,tanB,tanC成等差数列且函数f(x)满足f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的解析是为8.1001)]910)(710)(310)(110[(iiiii的末三位数是_______9.集合A中的元素均为正整数，具有性质：若Aa，则12-Aa，这样的集合共有个.10.抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=1168.在抛物线上是否存在一点C，使△ABC为正三角形，若存在，C点的坐标是.11.在数列}{na中，1a＝2，)(1*1Nnaann，设nS为数列}{na的前n项和，则2005200620072SSS的值为12.设函数xxxf31)(，其中.0函数)(xf在),0[上是单调递减函数；则的取值范围是_____________________.三、解答题（每题20分共60分）13.已知点A0,5和曲线0,5221422yxyx上的点、、PP21…、nP。若AP1、AP2、…、APn成等差数列且公差d0,(1).试将d表示为n的函数关系式.(2).若51,51d,是否存在满足条件的)(*Nnn.若存在,求出n可取的所有值,若不存在,说明理由.14.设a,b,c∈(1,+∞)，证明：2(baablog+cbbclog+accalog)≥cba9.15.定义下列操作规则：规则A：相邻两数a、b，顺序颠倒为b、a，称为一次“变换”。（如一行数1、2、3、4要变为3、1、2、4，可以这样操作：1、2、3、41、3、2、43、1、2、4。）规则B：相邻三数a、b、c，顺序颠倒为c、b、a，称为一次“变换”。规则C：相邻四数a、b、c、d，顺序颠倒为d、c、b、a，称为一次“变换”。现按照顺序排列着1、2、3、…、2004、2005，目标是：经过若干次“变换”，将这一行数变为2005、1、2、…、2003、2004。问：（1）只用规则A操作，目标能否实现？（2）只用规则B操作，目标能否实现？（3）只用规则C操作，目标能否实现？高二数学竞赛模拟试卷（1）参考答案一、选择题（每题7分共35分）1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有[]个A.360B.252C.720D.240解：末位是0的数共有个45A-34A，末位是2或4的数共有2(3414AA-2313AA)个.由加法原理，共有45A-34A+2(3414AA-2313AA)=252个.2.已知数列{na}(n≥1)满足2na=1na-na，且2a=1,若数列的前2005项之和为2006，则前2006项的和等于[]A.2005B.2006C.2007D.2008解：3na=2na-1na=(1na-na)-1na=-na,因此，对n≥1，na+1na+2na+3na+4na+5na=0，从而数列中任意连续6项之和均为0.2005=334×6+1,2006=334×6+2,所以前2005项之和为1a，即1a=2006，于是前2006项的和等于1a+2a=2007.所以选(C).3.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是060，又侧棱与底面所成的角都是045，则这个棱锥的体积是[]A.1B.3C.43D.23解：这个体积是底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半，因此434363121V4.若nnnxaxaxaax2222102)42((n∈N+),则naaa242被3除的余数是A.0B.1C.2D.不能确定解：naaaa2420=21[nn22)42()42(]=21[nn2226]naaa242=nnn22124)13(2nn21211)1(=-21(mod3).所以选(B).5.已知)2,2(,yx，且1xy，则224422yx的最小值是[]A、720B、712C、72416D、72416解：由已知得xy1，所以294216414422442224242222xxxxxxyx＝)24(9712947122242xxxxx242422xx当且仅当2224xx，即82x时，取等号AB（1）CBA（2）C（3）故当82x时，224422yx有最小值72416所以选C6.在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为3的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是[]A.17B.16C.11D.10解：如图(1)，作一个分割，在每个交叉点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，423(硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的.如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是3.借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则三角形ABC完全被覆盖，这时若在三角形ABC内置11个点，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.故n的最小值是11，所以选(C).二、填空题（每题8分共40分）6.设函数:,(0)1fRRf满足，且对任意,,xyR都有(1)()()()2fxyfxfyfyx，则()fx=_____________________。解：,,(1)()()()2,xyRfxyfxfyfyx对有(1)()()()2fxyfyfxfxy有()()()2fxfyfyx=()()()2fyfxfxy即()(),0,()1fxyfyxyfxx令得。7.在锐角三角形ABC中，设tanA,tanB,tanC成等差数列且函数f(x)满足f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的解析是为解：tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有3tanB=tanAtanBtanC,因为B为锐角，所以tanB≠0,所以tanAtanC=3,令cos2C=x,则C2cos=21x，所以A2tan=C2tan9=1cos192C=xx1)1(9所以cos(B+C-A)=cos(-2A)=-cos2A=1-2A2cos=1-A2tan12=xx4554,即f(x)=xx4554.8.1001)]910)(710)(310)(110[(iiiii的末三位数是_______解：(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=[1002i+100i+9][1002i+100i+21]=100002i2)1(i+3000i(i+1)+189189(mod1000).所以1001)]910)(710)(310)(110[(iiiii1001189i=189×100900(mod1000).所以末三位是9009.集合A中的元素均为正整数，具有性质：若Aa，则12-Aa，这样的集合共有个.解：从集合A的性质可得，A必然是六个集合{1,11},{2,10},{3,9},{4,8},{5,7},{6},中某几个的并集，因此符合要求的A共有16C+26C+36C+46C+56C+66C=62-1=63个.10.抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=1168.在抛物线上是否存在一点C，使△ABC为正三角形，若存在，C点的坐标是.解：设所求抛物线方程为)0(22ppxy，由弦长|AB|=1168建立关于p的方程.解得p=112或p=-1124(舍去)，故抛物线方程为xy1142.设AB的中点为D(x0,y0)，抛物线上存在满足条件的点C(x3,y3)，由于△ABC为正三角形.所以CD⊥AB，|CD|=23|AB|=11312.由CD⊥AB得111533yx①由1124|1|11312||33yxCD得②解①②得11253x，1114,111111033yxy或)1114,111(但点不在抛物线上.故抛物线上存在一点(1125,1110)11.在数列}{na中，1a＝2，)(1*1Nnaann，设nS为数列}{na的前n项和，则2005200620072SSS的值为解：当n为偶数时，114321nnaaaaaa，故2nSn当n奇数时，21a，115432nnaaaaaa，故23212nnSn故310041003210052200520062007SSS12.设函数xxxf31)(，其中.0函数)(xf在),0[上是单调递减函数；则的取值范围是_____________________.解：（1）设210xx，则].)1(11)1(1)[()()(32232313212121xxxxxxxfxf设3223231321)1(11)1(xxxxM，则显然3M.∵0)()(21xfxf,∴M1,∵311M,∴只需要31,就能使)(xf在),0[上是单调递减函数；三、解答题（每题20分共60分）13.(1).∵d0,故为递增数列∴AP1最小,APn最大由方程0,5221422yxyx知)0,5(A是它的右焦点,L:54x是它的右准线,∴251AP3APn于是dn)1()25(3∴)1(155nnd(2)∵)51,51(d∴5115551n设)5526,455(n又∵*Nn∴n取最大值14,n取最小值8.∴n可取8、9、10、11、12、、13、14这七个值。14.设a,b,c∈(1,+∞)，证明：2(baablog+cbbclog+accalog)≥cba9.证明：∵a,b,c∈(1,+∞)，logba,logcb,logac,都是正数，并且它们的乘积等于1，∴baablog+cbbclog+accalog≥33))()((logloglogaccbbacbaacb=3))()((3accbba,又∵2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)≥33))()((accbba,∴3))()((1accbba≥)()()(3accbba=)(23cba,∴baablog+cbbclog+accalog≥