高中数学竞赛(00-06年)试题分类汇总——不等式

专题四不等式一、选择题（每小题6分）1．（01全国）已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，二4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是A.2枝玫瑰花价格高B.3枝康乃馨价格高C.价格相同D.不确定()解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为ｘ元、ｙ元，则由题设得6ｘ＋3ｙ＞24，①且4ｘ＋5ｙ＜22．②问题转化为在条件①、②的约束下，比较2ｘ与3ｙ的大小．有以下两种解法：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解法1：为了整体地使用条件①、②，令6ｘ＋3ｙ＝ａ，4ｘ＋5ｙ＝ｂ，联立解得ｘ＝（5ａ－3ｂ）／18，ｙ＝（3ｂ－2ａ）／9．2ｘ－3ｙ＝…＝（11ａ－12ｂ）／9．ａ＞24，ｂ＜22，11ａ－12ｂ＞11×24－12×22＝0．2ｘ＞3ｙ，选Ａ．解法2：由不等式①、②及ｘ＞0、ｙ＞0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）．令2ｘ－3ｙ＝2ｃ，则ｃ表示直线ｌ：2ｘ－3ｙ＝2ｃ在ｘ轴上的截距．显然，当ｌ过点（3，2）时，2ｃ有最小值为0．故2ｘ－3ｙ＞0，即2ｘ＞3у，选Ａ．说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：已知函数Ｍ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ２－ｃ满足：－4≤ｆ（1）≤－1，－1≤ｆ（2）≤5，那么ｆ（3）应满足（）．Ａ．－7≤ｆ（3）≤26Ｂ．－4≤ｆ（3）≤15Ｃ．－1≤ｆ（3）≤20Ｄ．－28／3≤ｆ（3）≤35／3（2）如果由条件①、②先分别求出ｘ、ｙ的范围，再由2ｘ－ｙ的范围得结论，容易出错．上面的解法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见“刘康宁,平面区域问题,中数教学参考，2001，11［1］”．2．（03全国）已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数229944yxu的最小值是（）A．58B1124C712．D．512解：由已知得xy1，故)49(3735122xxu，而)2,21()21,2(x，故当3249222xxx时有最小值512，故选(D)．3．（04全国）不等式32121log1log202xx的解集为（）A.[2,3)B.(2,3]C.[2,4)D.(2,4]解：原不等式等价于222331log1log0222log10xxx设22310log1,220ttxtt则有解得01t。即20log11,24xx。故选C。4．（05全国）使关于x的不等式36xxk有解的实数k的最大值是（）A．63B．3C．63D．6解：令36,36,yxxx则2(3)(6)2(3)(6)2[(3)(6)]6.yxxxxxx06,yk实数的最大值为6。选D。5．（06全国）设2log(21)log21xxxx，则x的取值范围为（）A．112xB．1,12xx且C．1xD．01x【答】（B）【解】因为20,1210xxxx，解得1,12xx.由2log(21)log21xxxx32log(2)log2xxxxx320122xxxx解得01x；或32122xxxx解得1x，所以x的取值范围为1,12xx且.6．（04天津）若ba0，且1ba，则下列各式中最大的是（C）（A）1（B）1loglog22ba（C）b2log（D）)(log32232babbaa7．（06天津）已知1ab，0t，若taax，则xb与tb的大小关系是（A）（A）tbbx（B）tbbx（C）tbbx（D）不确定二、填空题（每小题9分）8．（01全国）不等式232xlog121的解集为________________.解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得12log2x，或122log07x，或12log0x．从而ｘ＞4，或1＜ｘ＜272，或0＜ｘ＜1．9．（02全国）使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是。解：原不等式可化为：（cosx-((a-1)/2)）2≤a2+(a-1)2/4.∵-1≤cosx≤1,a0,a-1/20,∴当cosx=1时，函数y=(cosx-(a-1)/2)2有最大值(1-(a-1)/2)2，从而有(1-(a-1)/2)2≤a2+(a-1)2/4，整理得a2+a-2≥0,∴a≥1或a≤-2.又a＜0,∴2a.10．（05天津）已知函数f(x)是定义在(－∞，3)上的减函数，且对于x∈R，f(a2－sinx)≤f(a＋1＋cos2x)恒成立，则实数a的取值范围是_________________．解：2101,2．由已知a＋1＋cos2x≤a2－sinx≤3对x∈R恒成立，即xxaaxasincos1sin3222对x∈R恒成立，解不等式组可得．11．（03全国）设23≤x≤5，证明不等式1923153212xxx．解：∵(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2(ab＋ac＋ad＋bc＋bd＋cd)≤4(a2＋b2＋c2＋d2)∴22222dcbadcba(当且仅当a＝b＝c＝d时取等号)5分取xdxcxba315,32,1，则192142)315()32()1()1(23153212xxxxxxxx15分∵xxx315,32,1不能同时相等∴1923153212＜xxx。12．（首届中国东南地区数学奥林匹克）已知不等式62(23)cos()2sin2364sincosaa对于0,2恒成立，求a的取值范围。解：设sincosx，则22cos(),sin21,1,242xxx从而原不等式可化为：26(23)2(1)36axxax即26223340,xaxxax222()3()0xxaxaxx，2(23)01,2(1)xxaxx原不等式等价于不等式（1）1,2,230xx（1）不等式恒成立等价于201,2xaxx恒成立。从而只要max2()(1,2)axxx。又容易知道2()fxxx在1,2上递减，max2()3(1,2)xxx。所以3a。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m