高中奥林匹克物理竞赛解题方法---极限法

高中奥林匹克物理竞赛解题方法五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。赛题精讲例1：如图5—1所示，一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k，则物块可能获得的最大动能为。解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有mg=kx①图5—1由机械能守恒有221)(kxExhmgk②联立①②式解得kgmmghEk2221例2：如图5—2所示，倾角为的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角。解析：质点沿OP做匀加速直线运动，运动的时间t应该与角有关，求时间t对于角的函数的极值即可。由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为cosga该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，则OPat221所以cos2gOPt①由图可知，在△OPC中有)90sin()90sin(OCOP所以)cos(cosOCOP②将②式代入①式得gOCgOCt)]2cos([coscos4)cos(coscos2图5—2显然，当2,1)2cos(即时，上式有最小值.所以当2时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。此题也可以用作图法求解。例3：从底角为的斜面顶端，以初速度0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后，离开斜面的最大距离H为多少？解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则由：gtvvytan0，解得运动时间为tan0gvt该点的坐标为2202200tan221tangvgtygvtvx由几何关系得：tancos/xyH解得小球离开斜面的最大距离为sintan220gvH。这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m。若不计空气阻力，取2/10smg，求所需的最小初速及对应的发射仰角。解析：水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A（d、h）的最小初速度和发射仰角。根据平抛运动的规律，水流的运动方程为20021sincosgttvytvx把A点坐标（d、h）代入以上两式，消去t，得：hhdhhddhdgdhdgddhgdv]2cos2sin[/)]12(cos2sin/[)tan(cos2/222222222220令,sin/,cos/,tan/2222hdhhdddh则上式可变为,,6.7134arctan45arctan2145245902,1)2sin(,,)2sin(/022220最小时亦即发射角即当显然vdhhhdgdv图5—3图5—4且最小初速0v=./5.9/103)(22smsmhhdg例5：如图5—5所示，一质量为m的人，从长为l、质量为M的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。铁板和水平面间摩擦因数为，人和铁板间摩擦因数为，且。这样，人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L是多少？解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f，其加速度gmMgmMmMfa)(1。由于铁板移动的距离vavL故,212越大，L越大。v是人与铁板一起开始地运动的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦gmM)(，根据系统的牛顿第二定律得：02MmaF所以gmmMmFa2①哈设v、v分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度因为vmMmv)(②且Lavlav12222,2并将1a、2a代入②式解得铁板移动的最大距离lmMmL例6：设地球的质量为M，人造卫星的质量为m，地球的半径为R0，人造卫星环绕地球做圆周运动的半径为r。试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度)2(00rRgRv，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。（取R0=6.4×106m），设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g）解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地面发射的速度为发v，卫星发射时具有的机械能为02121RMmGmvE发①进入轨道后卫星的机械能为rMmGmvE2221轨②图5—5由E1=E2，并代入,rGMv轨解得发射速度为)2(00rRRGMv发③又因为在地面上万有引力等于重力，即：gRRGMmgRMmG0020所以④把④式代入③式即得：)2(00rRgRv发（1）如果r=R0，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小为smgRv/109.730min.（2）如果r，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为smgRv/102.11230max例7：如图5—6所示，半径为R的匀质半球体，其重心在球心O点正下方C点处，OC=3R/8，半球重为G，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重为G/8的物体，它与半球平在间的动摩擦因数2.0，求无滑动时物体离球心图5—6O点最大距离是多少？解析：物体离O点放得越远，根据力矩的平衡，半球体转过的角度越大，但物体在球体斜面上保持相对静止时，有限度。设物体距球心为x时恰好无滑动，对整体以半球体和地面接触点为轴，根据平衡条件有：cos8sin83xGRG得tan3Rx可见，x随增大而增大。临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，则：RRxNfmm6.03,,2.0tan所以.例8：有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数3.0，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角30，如图5—7所示。（1）若以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离LLh(5/21为杆长），要使杆不滑倒，力F最大不能越过多少？（2）若将作用点移到5/42Lh处时，情况又如何？解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h有关，讨论力与h的关系是关键。杆的受力如图5—7—甲所示，由平衡条件得图5—70)(0cos0sinfLhLFmgTNfTF另由上式可知，F增大时，f相应也增大，故当f增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：Nf解得：hhLmgLFmas/tan)(tan由上式又可知，当LhhhL66.0,/tan)(0即当时对F就没有限制了。（1）当0152hLh，将有关数据代入maxF的表达式得NF385max（2）当,5402hLh无论F为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。例9：放在光滑水平面上的木板质量为M，如图5—8所示，板上有质量为m的小狗以与木板成角的初速度0v（相对于地面）由A点跳到B点，已知AB间距离为s。求初速度的最小值。图5—8解析：小狗跳起后，做斜上抛运动，水平位移向右，由于水平方向动量守恒，木板向左运动。小狗落到板上的B点时，小狗和木板对地位移的大小之和，是小狗对木板的水平位移。由于水平方向动量守恒，有MmvvMvmvsincos00即①小狗在空中做斜抛运动的时间为gvtsin20②又vttvscos0③将①、②代入③式得2sin)(0mMMgsv当0,4,12sinv时即有最小值，mMMgsvmin0。例10：一小物块以速度smv/100沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图5—9所示，当高台的高度h多大时，小物块飞行的水平距离s最大？这个距离是多少？（g取10m/s2）解析：依题意，小物块经历两个过程。在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持力，由于支持力不做功，物块的机械能守恒，物块从高台上飞出后，做平抛运动，其水平距离s是高度h的函数。设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v，根据机械能守恒定律，图5—7—甲图5—9mghmvmv2202121①小物块做平抛运动的水平距离s和高度h分别为：221gth②vts③以上三式联立解得：22022020)4()4(222gvhgvghghvs当mgvh5.2420时，飞行距离最大，为mgvs5220max。例11：军训中，战士距墙s，以速度0v起跳，如图5—10所示，再用脚蹬墙面一次，使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为。求能使人体重心有最大总升高的起跳角。图5—10解析：人体重心最大总升高分为两部分，一部分是人做斜上抛运动上升的高度，另一部分是人蹬墙所能上升的高度。如图5—10—甲，人做斜抛运动cos0vvx，gtvvysin0重心升高为2001)cos(21tanvsgsH脚蹬墙面，利用最大静摩擦力的冲量可使人向上的动量增加，即,)(,)()()()(xyymvttNttNttNtfvmmv而xyvv，所以人蹬墙后，其重心在竖直方向向上的速度为xyyyyvvvvv，继续升高gvHy222，人的重心总升高H=H1+H2=1tan,)sincos(210220当sgv时，重心升高最大。例12：如图5—11所示，一质量为M的平顶小车，以速度0v沿水平的光滑轨道做匀速直线运动。现将一质量为m的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的滑动摩擦因数为。（1）若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？（2）若车顶长度符合（1）问中的要求，整个过程中摩擦力共做多少功？解析：当两物体具有共同速度时，相对位移最大，这个相对位移的大小即为车顶的最小长度。设车长至少为l，则根据动量守恒图5—10—甲图5—11vmMMv)(0根据功能关系220)(2121vmMMvlmg解得gmMMvl)(220，摩擦力共做功)(220mMMmvlmgW例13：一质量m=200kg，高2.00m的薄底大金属桶倒扣在宽广的水池底部，如图5—12所示。桶的内横截面积S=0.500m2，桶壁加桶底的体积为V0=2.50×10－2m3。桶内封有高度为l=0.200m的空气。池深H0=20.0m，大气压强p0=10.00m水柱高，水的密度33/10000.1mkg，重力加速度取g=10.00m/s2。若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底到达水面处，求绳子拉力对桶所需何等的最小功为多少焦耳？（结果要保留三位有效数字）。不计水的阻力，设水温很低，不计其饱和蒸汽压的影响。并设水温上下均匀且保持不变。解析：当桶沉到池底时，桶自身重力大于浮力。在绳子的作用下桶被缓慢提高过程中，桶内气体体积逐步增加，排开水的体积也逐步增加，桶受到的浮力也逐渐增加，绳子的拉力逐渐减小，当桶受到的浮力等于重力时，即绳子拉力恰好减为零时，桶将处于不稳定平衡的状态，因为若有一扰动使桶略有上升，则浮