高中奥林匹克物理竞赛解题方法-对称法7-2

例13：如图7—13所示，在水平方向的匀强电场中，用长为l的绝缘细线，拴住质量为m、带电量为q的小球，线的上端O固定，开始时将线和球拉成水平，松开后，小球由静止开始向下摆动，当摆过60°角时，速度又变为零.求：（1）A、B两点的电势差UAB多大？（2）电场强度多大？解析：（1）小球在A、B间摆动，根据能量守恒定律有PBPA取A点为零势能的参考点，即0PB则060sinBAPBqUmglE所以qmglUqmglUABBA2323（2）小球在平衡位置的受力如图7—13—甲.根据共点力的平衡条件：有：60tanmgqE解得电场强度：qmgE3例14：如图7—14所示，ab是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强为E，在圆周平面内，将一带正电q的小球从a点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c点时小球的动能最大.已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，试求：（1）电场方向与直径ab间的夹角？（2）若小球在a点时初速度方向与电场方向垂直，小球恰好能落在c点，则初动能为多少？解析：由于对a点以相同的初动能沿不同方向抛出的小球到达圆周上的各点时其中到达c点的小球动能最大，因此过c点的切线一定是等势线，由此可以确定电场线的方向，至于从a点垂直于电场线抛出的小球可按类平抛运动处理.（1）用对称性判断电场的方向：由题设条件，在圆周平面内，从a点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球，小球会经过圆周上不同的点，且以经过c点时小球的动能最大，可知，电场线平行于圆平面.又根据动能定理，电场力对到达c点的小球做功最多，为qUac.因此，Uac最大.即c点的电势比圆周上任何一点的电势都低.又因为圆周平面处于匀强电场中，故连接Oc，圆周上各点的电势对于Oc对称（或作过c点且与圆周相切的线cf是等势线）,Oc方向即为电场方向（如图7—14—甲所示），它与直径ab的夹角为60°.（2）小球在匀强电场中做类平抛运动.小球沿垂直于电场方向抛出，设其初速度为0v，小球质量为m.在垂直于电场线方向，有：tvx0①在沿电场线方向，有：221aty②由图中几何关系可得30cosRx③)60cos1(Ry④且mqEa⑤将③、④、⑤式代入①、②两式解得：mRqEv420所以初动能.821200RqEmvEk例15：如图7—15所示，两块竖直放置的平行金属板A、B之间距离为d，两板间电压为U，在两板间放一半径为R的金属球壳，球心到两板的距离相等，C点为球壳上的一点，位置在垂直于两板的球直径的靠A板的一端，试求A板与点C间的电压大小为多少？解析：将金属球壳放在电场中达到静电平衡后，球壳为等势体，两极板之间的电场由原来的匀强电场变为如图7—15—甲所示的电场，这时C与A板间电势差就不能用公式UAC=EdAC来计算.我们利用电场的对称性求解.由于电场线和金属球关于球心O对称，所以A板与金属板的电势差UAO和金属球与B板的电势差UOB相等，即UAO=UOB.又A、B两板电势差保持不变为U，即UAO+UOB=U，由以上两式解得：UAO=UOB=U/2所以得A、C两点间电势差UAC=UAO=U/2例16：如图7—16所示，一静止的带电粒子q，质量为m（不计重力），从P点经电场E加速，经A点进入中间磁场B，方向垂直纸面向里，再穿过中间磁场进入右边足够大的空间磁场B′（B′=B），方向垂直于纸面向外，然后能够按某一路径再由A返回电场并回到出发点P，然后再重复前述过程.已知l为P到A的距离，求中间磁场的宽度d和粒子运动的周期.（虚线表示磁场的分界线）解析：由粒子能“重复前述过程”，可知粒子运动具有周期性；又由粒子经过A点进入磁场后能够按某一路径再返回A点，可知的运动具有对称性.粒子从A点进入中间磁场做匀速圆周运动，半径为R，过C点进入右边磁场，于做半径为R的匀速圆周运动经点F到点D，由于过D点后还做匀速圆周回到A（如图7—16—甲所示），故DA和CA关于直线OA对称，且OA垂直于磁场的分界线.同理可知，OA也同时是CD圆弧的对称轴.因此粒子的运动轨迹是关于直线OA对称的.由于速度方向为切线方向，所以圆弧AC、CD、DA互相相切.（1）设中间磁场宽度为d，粒子过A点的速度为v，由圆周运动的对称性可得sinsinRRR则6带电粒子在加速电场中有221mvqEl①在中间和右边磁场中有qBmvR②d=Rcos③解①、②、③得qBqElmd26（2）粒子运动周期T由三段时间组成，在电场中做匀变速直线运动的时间为t1，qElmt221在中间磁场中运动的时间为t2，因为AC所对圆心角为3，所以qBmqBmTt3222322322在右边磁场中运动的时间为t3因为CD所对圆心角为35（（（（（（（所以qBmqBmTt3522352353所以周期为qBmqElmtttT3722321