高中奥林匹克物理竞赛解题方法·13近似法

高中奥林匹克物理竞赛解题方法十三、近似法方法简介近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力的考查.赛题精讲例1：一只狐狸以不变的速度1沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不变的速率2追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小.解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度rra,22为猎犬所在处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于2大小不变，如果求出D点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了.猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，则加速度aR22其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在t时间内，设狐狸与猎犬分别到达DF与，猎犬的速度方向转过的角度为2t/R而狐狸跑过的距离是：1t≈L因而2t/R≈1t/L，R=L2/1图14—1图14—2—甲所以猎犬的加速度大小为aR22=12/L例2如图14—2所示，岸高为h，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为时，收绳速率为，则该位置船的速率为多大？解析要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率.设船在角位置经t时间向左行驶x距离，滑轮右侧的绳长缩短L，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有L=cosx两边同除以t得：costxtL，即收绳速率cos船因此船的速率为cos船例3如图14—3所示，半径为R，质量为m的圆形绳圈，以角速率绕中心轴O在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？解析取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角很小时，有近似关系式.sin若取绳圈上很短的一小段绳AB=L为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为，这段绳两端所受的张力分别为AT和BT（方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以AT和BT的大小相等，均等于T.AT和BT在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m，根据牛顿第二定律有：RmT22sin2；因为L段很短，它所对应的圆心角很小所以22sin将此近似关系和22mRmRm代入上式得绳中的张力为22RmT图14—2图14—2—甲图14—3图—14—3—甲例4在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需时间，恰好等于小球从顶点A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值.解析直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为1l、2l、3l，如图14—4—甲所示，小球从A到B的时间记为1T，再从B到C的时间为2T，而从A直接沿斜边到C所经历的时间记为3T，由题意知321TTT，可得1l：2l：3l=3：4：5，由此能得1T与2T的关系.因为21121121TgTlgTl所以21212TTll因为1l：2l=3：4，所以1232TT小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为11Tt，经各水平段所需时间之和记为2t，则从A到C所经时间总和为21tTt，最短的2t对应t的下限mint，最长的2t对应t的上限.maxt小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC重合）时2t最短，其值即为2T，故mint=.35121TTT2t的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量1l，便接一段水平小量2l，这两个小量之间恒有cot12ll，角即为∠ACB，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于1l、2l均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量)(1it与)(2it之间有如下关联：cot)()(1212llitit于是作为)(2it之和的2t上限与作为)(1it之和的1T之比也为.cot故2t的上限必为1Tcot，即得：.37cot111maxTTTt这样:maxtmint=7:5例5在光滑的水平面上有两个质量可忽略的相同弹簧，它们的一对端点共同连接着一个光滑的小物体，另外一对端点A、B固定在水平面上，并恰使两弹簧均处于自由长度状态且在同一直线上，如图14—5所示.如果小物体在此平面上沿着垂直于A、B连线的方向稍稍偏离初始位置，试分析判断它是否将做简谐运动？解析因为一个物体是否做简谐运动就是要看它所受的回复力是否是一个线性力，即回复力的大小与位移大小成正经，方向相反.因此分析判断该题中的小物体是否做简谐运动，关键是求出所受的回复力的表达式（即此题中所受合外力的表达式）.以AB中点为原点，过中点且垂直于AB的直线为x轴，如图14—5—甲所示，取x轴正方向为正方向，小物体所受回复力为：sin)(20llkFx①其中k为弹簧的劲度系数，0l为弹簧的自由长度，l为弹簧伸长后的长度，为弹簧伸长后与AB直线的夹角.由几何知识可得lxsin②220xll③将②、③代入①式得：203202212200)]211(1[2])(1[2lkxxlxkxxllkFx由此可见，小物体受的合外力是一个非线性回复力，因此小物体将不做简谐运动.同时本题表明，平衡位置附近的小振动未必都是简谐运动.例6三根长度均为m2，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动.杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图14—6所示，现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动.解析松鼠在AB轨道运动，当框架不动时，松鼠受到轨道给它的水平力F′作用，框架也受到松鼠给它的水平力F作用，设在某一时刻，松鼠离杆AB的中点O的距离为x，如图14—6所示，松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到的重力mg，m为松鼠的质量.以C点为轴，要使框架平衡，必须满足条件FLFLmgx2360sin，松鼠对AB杆的水平力为)3/(2LmgxF，式中L为杆的长度.所以对松鼠而言，在其运动过程中，沿竖直方向受到的合力为零，在水平方向受到杆AB的作用力为F′，由牛顿第三定律可知F′=F，即kxLmgxF)3/(2其中Lmk32即松鼠在水平方向受到的作用力F′作用下的运动应是以O点为平衡位置的简谐运动，其振动的周期为.64.22/322sgLkmT当松鼠运动到杆AB的两端时，它应反向运动，按简谐运动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅小于或等于L/2=1m.由以上论证可知，当框架保持静止时，松鼠在导轨AB上的运动是以AB的中点O为平衡位置，振幅不大于1m、周期为2.64s的简谐运动.例7在一个横截面面积为S的密闭容器中，有一个质量为m的活塞把容器中的气体分成两部分.活塞可在容器中无摩擦地滑动，活塞两边气体的温度相同，压强都是p，体积分别是V1和V2，如图14—7所示.现用某种方法使活塞稍微偏离平衡位置，然后放开，活塞将在两边气体压力的作用下来回运动.容器保持静止，整个系统可看做是恒温的.（1）求活塞运动的周期，将结果用p、V1、V2、m和S表示；（2）求气体温度0t℃时的周期与气体温度=30℃时的周期之比值.解析（1）活塞处于平衡时的位置O为坐标原点.0x当活塞运动到右边距O点x处时，左边气体的体积由V1变为V1+Sx，右边气体的体积由V2变为V2Sx，设此时两边气体的压强分别为1p和2p，因系统的温度恒定不变，根据玻意耳定律有：222111)()(pVSxVppVSxVp而以上两式解出：)1(2,)1(22221111VSxVpVpVSxVpVp①按题意，活塞只稍许离开平衡位置，故上式可近似为：),1(11xVSpp)1(22xVSpp，于是活塞受的合力为.)11()(21221xVVpSSpp所以活塞的运动方程是xVVVVpSxVVpSma21212212)11(其中a是加速度，由此说明活塞做简谐运动，周期为)(221221VVpSVmV（2）设温度为t时，周期为，温度为t时，周期为.由于TpTp，得出TTTTVVpSVmVVVSpVmV)(2)(22122121221所以TT，将数值代入得95.0:例8如图14—8所示，在边长为a的正三角形三个顶点A、B、C处分别固定电量为Q的正点电荷，在其中三条中线的交点O上放置一个质量为m，电量为q的带正电质点，O点显然为带电质点的平衡位置，设该质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置，试证明它将做简谐运动，并求其振动周期.解析要想证明带电质点是否做简谐运动，则需证明该带电质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置时，所受的回复力是否与它的位移大小成正比，方向相反.因此该题的关键是求出它所受回复力的表达式，在此题也就是合外力的表达式.以O为坐标原点，以AOD中线为坐标x轴，如图14—8—甲所示，设带电质点在该轴上偏移x，A处Q对其作用力为1F，B、C处两个Q对其作用的合力为2F，取x轴方向为正方向.有2221)1()(rxrkQqxrkQqF因为aOCOBOAr33rxrx21)1(2当x很小时可忽略高次项所以)361(321axaQqkF232222222])()2)[((2))()2()()2((2xhaxhkQqxhaxhxhakQqF2322)24)((2hxhaxhkQq（略去2x项）232)333)((2axaxhkQq23232)31()3)((2xaaxhkQq)3231(363xaaxhkQq)233(363xhxahaQqk（略去2x项）)2331(363hxxahaQqk)231(33xaaQqk因此带电质点所受合力为qxaQkxaaxqaQkFFFx3221239)2336(3由此可知，合外力xF与x大小成正比，方向相反.即该带电质点将做简谐运动，其振动周期为kQqamakmT32322例9欲测电阻R的阻值，现有几个标准电阻、一个电池和一个未经标定的电流计，连成如图14—9所示的电路.第一次与电流计并联的电阻r为50.00Ω，电流计的示度为3.9格；第二次r为100.00Ω，电流计的示度为5.2格；第三次r为