高一数学竞赛试题选编---立体几何

竞赛试题选编之立体几何一．选择题(2005年全国高中数学联赛)空间四点A、B、C、D满足,9||,11||,7||,3||DACDBCAB则BDAC的取值（）A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个DCBAABCD为正方体。任作平面与对角线CA垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（）A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值（2004年高中数学联赛）顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，ABOB，垂足为B，OHPB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（）A.53B.253C.63D.263（2003年高中数学联赛）在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于(A)23(B)21(C)31(D)33(2002年全国高中数学联赛)由曲线yx42，yx42，4x，4x围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V；满足1622yx，4)2(22yx，4)2(22yx的点组成的图形y轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V，则（A）2121VV（B）2132VV（C）21VV（D）212VV（2001年全国高中数学联赛）命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；yyxxOO44444444ABCDD1C1B1A1ABCDMNA1D1B1C1命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是B（A）64（B）66（C）68（D）70如图1，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点M、N分别在AB1、BC1上，且AM＝BN．那么，B①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面．以上4个结论中，不正确的结论的个数为（A）1（B）2（C）3（D）4正方形纸片ABCD，沿对角线AC对折，使D在面ABC外，这时DB与面ABC所成的角一定不等于D（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论①没有任何两个平面互相平行；②没有任何三个平面相交于一条直线；③平面间的任意两条交线都不平行；④平面间的每一条交线均与n2个平面相交．其中，正确的个数为D（A）1（B）2（C）3（D）4已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则圆锥侧面积和底面面积之比为（）（A）3：1（B）2：1（C）1：1（D）1：2长方体ABCDA1B1C1D1，AC1为体对角线．现以A为球心，AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有C（A）V4＜V1+V2+V3（B）V4=V1+V2+V3（C）V4＞V1+V2+V3（D）不能确定，与长方体的棱长有关若空间四点,,,ABCD满足8,10,13ABCDACBDADBC，则这样的三棱锥ABCD共有（A）个．（A）0（B）1（C）2（D）多于2如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于60°．这样的直线l可以做B（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，O为底面圆心，C为底面圆周上AB的三等分点，AC=2CB，则SA与OC的夹角为（）A.45°B.60°C.arcos42D.arccos43四面体ABCD的所有二面角均为锐角，相对的棱都两两相等，该四面体的六个二面角的平面角为αi（i=1，2，…，6）则61cosii=（）A.1B.2C.4D.不是定值设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V2．则12VV为A（A）21（B）32（C）常数，但不等于21和32（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关给定四棱锥S－ABCD，其中底面四边形不是平行四边形，用一个与四条侧棱都相交的平面截这个四棱锥，截得四边形A'B'C'D'，记集合M＝{四边形A'B'C'D'为平行四边形}，则有A.M为空集B.M为无穷集合C.M为单元素集合D.M的元素个数不确定正方形纸片ABCD，沿对角线AC对折，使D点在面ABC外，这时DB与面ABC所成的角一定不等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°长方体ABCD－A’B’C’D’中，AB’＝22，AD’＝17，则AC的取值范围是A.(17－22，5)B.(3，17＋22)C.(3，5)D.(17－22，17＋22)如图，五面体ABC－A'B'C'中，AB＝A'B'，则AA'，BB'，CC'共点的充要条件是A.BC∥B'C'且AC∥A'C'B.BC≠B'C'且AC≠A'C'C.AA'≠BB'，且∠BAA'≠∠B'A'AD.面ABC与面A'B'C'不平行已知边长为a的菱形ABCD，3A，将菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，已知2[,]33.则两对角线距离的最大值是（）ABCDD'C'B'A'AA'B'C'BCA'C'B'D'ABCDS（A）32a（B）34a（C）32a（D）34aa、b是异面直线，直线c与a所成的角等于c与b所成的角，则这样的直线c有D（A）1条（B）2条（C）3条（D）无数条一圆台的上底半径为cm1，下底半径为cm2，母线AB为cm4，现有一蚂蚁从下底面圆周的A点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的B点爬行的最短路线是(A)．(A)3234(B)3434(C)3232(D)3432二．填空题（2005年高中数学联赛）如图，四面体DABC的体积为61，且满足,32,45ACBCADACB则CD.（2005年高中数学联赛）如图，四面体DABC的体积为61，且满足,32,45ACBCADACB则CD.（2004年高中数学联赛）如图、正方体1111ABCDABCD中，二面角11ABDA的度数是____________。（2003年高中数学联赛）将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.正三棱锥V-ABC底面边长为a,侧棱长为b,M为高VO上一点,VMMO=ba,过M作平行于侧棱VA及底边BC的平面,则此平面截正三棱锥所得截面面积为______正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是CD中点，F是BB1中点，则四面体AD1EF的体积是．245；已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P作与a、b都成角（0CED1C1A1B1ABDF＜＜90°）的直线l，则这样的直线l的条数是f()=．900,460,36030,230,1300,0f；（2001年全国高中数学联赛）正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是。(2000年全国高中数学联赛)一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.如图，三棱柱上有一个空间五边形ABCDE，AB的中点为A1，BC的中点为A2，CD的中点为A3，DE的中点为A4，连结A1A3，A2A4，M是A1A3的中点，N是A2A4的中点，则AEMN＝___________.在正四面体ABCD中，点M、P分别是AD、CD的中点，点N、Q分别是△BCD、△ABC的中心．则直线MN于PQ的夹角的余弦值为．181；长方形ABCD的长AB是宽BC的32倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD与BC重合折痕线EF、GH分别交原对角线AC于M、N，则折后截面AMN与底面AFH所成的角是．一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为1V，圆柱的体积为2V，且21kVV，则k的最小值是43在四面体PABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，则ba的取值范围为1,32；同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan(＋)的值是．aR334已知空间三个平面////，在与之间，与的距离为4，AA1BCDEA2A3A4MN与的距离为2a，又边长为9a的正三角形ABC，A在平面内，B在平面内，C在平面内，AC交平面于D，则ABC所在平面与这三个平面所成的锐角是。如图，直三棱柱ABC－A'B'C'中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝1，AA'＝2，连结A'B，A'C，则侧面A'BC与面A'AB所成角的正切值为___________.长方体的底面积是4，对角线长也是4，则长方体的侧面积的最大值为三．解答题单位正方体ABCDA1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1的中心为点N，连AN、B1M．（1）求证：AN、B1M为异面直线；（2）求出AN与B1M的夹角．（2）32arccos．求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积在三棱锥D-ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠DBA＋∠ABC＋∠DBC＝180°．求异面直线AD与BC所成的角．222arccosacb若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4，求这个正三棱锥的体积的最大值．(18)三棱柱P—ABC的侧面和底面都成45°角，△ABC的一个内角B=60°，两边a、c是方程3x2–27x+32=0的两根，求此三棱锥的高。在三棱锥A—BCD中，DB=a，DC=b，又知∠DAB+∠BAC+∠DAC=90°，∠ADB=∠BDC=∠ADC=90°试求在三棱锥A—BCD内所容体积最大的球的半径。若四面体相对棱中点的3条连线都相等，则这个四面体的对棱两两垂直。过正方体的某条对角线的截面面积为S，试求最小最大SS之值332证明：存在4条两两异面的直线，使得没有任何直线能与之同时相交。AA'B'C'BC