高二数学竞赛模拟试卷(2)

高二数学竞赛模拟试卷（2）班级姓名一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．函数yfx与ygx的定义域和值域都是R，且都有反函数，则函数11yfgfx的反函数是（）1.Ayfgfx11.Byfgfx1.Cyfgfx11.Dyfgfx2．集合M由满足如下条件的函数fx组成：当12,1,1xx时，有12124fxfxxx，对于两个函数2125,fxxx2fxx，以下关系中成立的是（）12.,;AfMfM12.,;BfMfM12.,;CfMfM12.,;DfMfM3.ABC中，,,,BCaACbABc则比式::bcaacbabc等于.sin:sin:sin.cos:cos:cos222222ABCABCAB.tan:tan:tan222ABCC.cot:cot:cot222ABCD4．抛物线22yx上两点1122,,,AxyBxy关于直线yxm对称，若1221xx，则2m的值是（）..3,.4,.5,.6ABCD5．椭圆222210xyabab的中心，右焦点，右顶点，右准线与x轴的交点依次为,,,OFGH，则FGOH的最大值为（）.111.,.,.,.234ABCD不能确定.6．函数3123fxxx的值域为（）3.1,2.1,3C.1,D.1,22AB二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7．若21cos14sin2，则334cos3sin.8．数列:1,3,3,3,5,5,5,5,5,nx由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数k连续出现k次，1,3,5,k，如果这个数列的通项公式为nxabncd则abcd9．,xy为实数，满足221xy，则222xxyy的最大值为.10．若集合A中的每个元素都可表为1,2,,9中两个不同的数之积，则集A中元素个数的最大值为.11．作出正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有个.12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，EDCBA则不同的染色方法有种.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设12,,,naaa为正数，证明：12233nnnnaaaaaaaaa212349naaana14．已知二次函数222yxmxn（1）若mn，变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。（2）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记4mn，两数中较大者为P，试求P的最小值。15．设p是质数，且271p的不同正因数的个数不超过10个．求p．高二数学竞赛模拟试卷（2）参考答案二、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．函数yfx与ygx的定义域和值域都是R，且都有反函数，则函数11yfgfx的反函数是（）1.Ayfgfx11.Byfgfx1.Cyfgfx11.Dyfgfx答：C.解：由11yfgfx依次得1,,fygfxgfyfx1fgfyx，互易,xy得1yfgfx.2．集合M由满足如下条件的函数fx组成：当12,1,1xx时，有12124fxfxxx，对于两个函数2125,fxxx2fxx，以下关系中成立的是（）12.,;AfMfM12.,;BfMfM12.,;CfMfM12.,;DfMfM答：D.解：2211121212121222fxfxxxxxxxxx124xx．1221221212xxfxfxxxxx，取1211,9003600xx，则12122122121220113060xxxxfxfxxxxx124xx.3.ABC中，,,,BCaACbABc则比式::bcaacbabc等于.sin:sin:sin.cos:cos:cos222222ABCABCAB.tan:tan:tan222ABCC.cot:cot:cot222ABCD答：.D解：如图易知，22cot2AbcaADr2cot2Bacbr，2cot2Cabcr因此选D4．抛物线22yx上两点1122,,,AxyBxy关于直线yxm对称，若1221xx，则2m的值是（）..3,.4,.5,.6ABCD答：A．解：由12121212121,,2122yyyyxxmxxxx以及2211222,2yxyx得222112121212,2xxyyxxxx，221212121222myyxxxx2121211124223242xxxx5．椭圆222210xyabab的中心，右焦点，右顶点，右准线与x轴的交点依次为,,,OFGH，则FGOH的最大值为（）.111.,.,.,.234ABCD不能确定.答：C．解：22211111411211FGaceeaOHeeeec.（2e时取等号）6．函数3123fxxx的值域为（）DIBAC3.1,2.1,3C.1,D.1,22AB答：D.解：fx的定义域为34,x则031x，令23sin,02x，则334fxxx2sin31sinsin3cos2sin()3因5336，则1sin()1,12sin()2233.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7．若21cos14sin2，则334cos3sin.答：9.解：由条件得，2222cos4sin,cos14,cos1则334cos3sin9.8．数列:1,3,3,3,5,5,5,5,5,nx由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数k连续出现k次，1,3,5,k，如果这个数列的通项公式为nxabncd则abcd答：3.解：由22212121kkkxxxk，即当2211knk时，21nxk1kn，所以211nxn，于是，,,,2,1,1,1,3abcdabcd9．,xy为实数，满足221xy，则222xxyy的最大值为.答：2.解：设cos,sin,01,xryrr，则222xxyy2222cos2sincossinsin2cos2rr22sin(2)24r，（当1,242r时取等号）.10．若集合A中的每个元素都可表为1,2,,9中两个不同的数之积，则集A中元素个数的最大值为.答：31.解：从1,2,,9中每次取一对作乘积，共得2936C个值，但其中有重复，重复的情况为1623,1824,29=36,2634,3846，共5种，因此集合A中至多有29531C个数.11．作出正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有个.答：24个“线段对”.解：任取一条中位线AB考虑，AB所在的侧面没有与AB异面的线段；含点A的另一个侧面恰有一条中位线与AB异面；含点B的另一个侧面恰有一条中位线与AB异面；不含,AB的侧面恰有两条中位线与AB异面；因此与AB异面的中位线共有4条，即含有线段AB的异面“线段对”共有4个，于是得异面“线段对”12448个，（其中有重复）.但每一个异面“线段对”中有两条线段，故恰被计算了两次，因此得48242个异面“线段对”.12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有种.答：1020种.解：将其转化为具有五个扇形格的圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题。设有k个扇形格的圆盘染五色的方法数为kx，则有1154kkkxx，于是55443322xxxxxxxx432544441020三、解答题（本题满分60分，每小题20分）EDCBAEDCBA13．设12,,,naaa为正数，证明：12233nnnnaaaaaaaaa212349naaana证：对n归纳，1n时显然成立等号；设nk时结论对于任意k个正数成立，当1nk时，对于任意1k个正数121,,,,kkaaaa，据假设有2231311234149kkkkaaaaaaaaaka，…5分所以1212311kkkaaaaaaa2121234149kkaaaaaaka只要证，2212123112144(1)kkkaaaaakaaaka…○1平方整理，只要证，21212312341423kkkaaaaakaaaaka…○2…10分由柯西不等式2222222312312kkaaaaaka22233441123kkaaaaaaaka……………15分即222123123414(23)kkkaaaakaaaaka所以2212123123414(23)kkkaaaaakaaaaka即○2成立，因此当1nk时结论成立.故由归纳法知，所证不等式成立.………………………………20分14．已知二次函数222yxmxn（1）若mn，变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。（2）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记4mn，两数中较大者为P，试求P的最小值。[解答]：2222121212212000,0),(,0),(0,),0,0,,1(0,1),,,,01BxCnxxnnxxnxxxxnPOAOBOPOCABCP10（1）图象与坐标轴有三个不同的交点,可设交点坐标为A(x。又若则与三个交点不符，分在原点左右两侧。（3分）又，存在点使得，所以四点共圆这些抛物线必过定点P（，）（6分）（2）