福建省福州市2014年中考数学试题

二O一四年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试卷（全卷共4页，三大题，22小题，满分150分；考试时间120分钟）友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效。[来源:学科网]毕业学校姓名考生号一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．5的相反数是A．5B．5C．15D．15【答案】B2．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记者数法表示为A．11104B．1.1105C．1.1104D．0.11106【答案】B3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥【答案】D4．下列计算正确的是A．x4·x4x16B．(a3)2a5C．(ab2)3ab6D．a2a3a【答案】D5．若7名学生的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是A．44B．45C．46D．47【答案】C6．下列命题中，假命题是A．对顶角相等B．三角形两边的和小于第三边C．菱形的四条边都相等D．多边形的外角和等于360【答案】B7．若(m1)22n0，则mn的值是A．1B．0C．1D．2【答案】A8．某工厂现在平均每天比原计算多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是A．60045050xxB．60045050xxC．60045050xxD．60045050xx【答案】A9．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为A．45B．55C．60D．75【答案】C10．如图，已知直线yx2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线ykx交于E，F两点，若AB2EF，则k的值是A．1B．1C．12D．34【答案】D二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）11．分解因式：mamb.【答案】m(ab)12．若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是.【答案】1513．计算：（21）（21）.【答案】114．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD6，BE2，则□ABCD的周长是.[来源:Zxxk.Com]【答案】2015．如图，在Rt△ABC中，∠ACB90，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF12BC.若AB10，则EF的长是.【答案】5三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）16．（每小题7分，共14分）（1）计算：9120140|1|.【答案】解：原式3115.（2）先化简，再求值：(x2)2x(2x)，其中x13.【答案】解：原式x24x42xx26x4.当x13时，原式61346.17．（每小题7分，共14分）（1）如图，点E，F在BC上，BECF，ABDC，∠B∠C.求证：∠A∠D.【答案】证明：∵BECF，∴BEEFCFEF即BFCE.又∵ABDC，∠B∠C，∴△ABF≌△DCE.∴∠A∠E.（2）如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上.①sinB的值是；②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应）.连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积.【答案】①35；②如图所示.由轴对称的性质可得，AA12，BB18，高是4.∴11AABBS梯形12(AA1BB1)420.18．（满分12分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分.规定：85≤x≤100为A级，75≤x85为B级，60≤x75为C级，x60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了名学生，a%；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为度；（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？【答案】解：（1）50，24；（2）如图所示；（3）72；（4）该校D级学生有：2000450160人.19．（满分12分）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品共用了160元.（1）求A，B两种商品每件多少元？（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？【答案】解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元.依题意，得29032160.xyxy，解得2050.xy，答：A商口每件20元，B商品每件50元.（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品(10a)件.依题意，得2050(10)3002050(10)350.aaaa，[来源:学科网]解得5≤a≤623.根据题意，a的值应为整数，所以a5或a6.方案一：当a5时，购买费用为20550(105)350元；方案二：当a6时，购买费用为20650(106)320元.∵350320，∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低.答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件.其中方案二费用最低.20．（满分11分）如图，在△ABC中，∠B45，∠ACB60，AB32，点D为BA延长线上的一点，且∠D∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆.（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径.【答案】解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E.∴∠AEB∠AEC90.在Rt△ABE中，∵sinBAEAB，∴ABAB·sinB32·sin4532·223.∵∠B45，∴∠BAE45.∴BEAE3.在Rt△ACE中，∵tan∠ACBAEEC，∴EC333tantan603AEACB.∴BCBEEC33.（2）由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC30，EC3，∴AC23.解法一：连接AO并延长交⊙O于M，连接CM.∵AM为直径，∴∠ACM90.在Rt△ACM中，∵∠M∠D∠ACB60，sinMACAM，∴AMsinACM23sin604.∴⊙O的半径为2.解法二：连接OA，OC，过点O作OF⊥AC，垂足为F，则AF12AC3.∵∠D∠ACB60，∴∠AOC120.∴∠AOF12∠AOC60.在Rt△OAF中，sin∠AOFAFAO，∴AOsinAFAOF2，即⊙O的半径为2.21．（满分13分）如图1，点O在线段AB上，AO2，OB1，OC为射线，且∠BOC60，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.（1）当t12秒时，则OP，S△ABP；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当APAB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP∠B，求证：AQ·BP3.【答案】解：（1）1，334；（2）①∵∠A∠BOC60，∴∠A不可能是直角.②当∠ABP90时，∵∠BOC60，∴∠OPB30.∴OP2OB，即2t2.∴t1.③当∠APB90时，作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP∠PDB90.∵OP2t，∴ODt，PD3t，AD2t，BD1t（△BOP是锐角三角形）.解法一：∴BP2（1t）23t2，AP2(2t)23t2.∵BP2AP2AB2，∴(1t)23t2(2t)23t29，即4t2t20.解得t11338，t21338（舍去）.解法二：∵∠APD∠BPD90，∠B∠BPD90，∴∠APD∠B.∴△APD∽△PBD.∴.ADPDPDBD∴PD2AD·BD.于是(3t)2(2t)(1t)，即4t2t20.解得t11338，t21338（舍去）.综上，当△ABP为直角三角形时，t1或1338.（3）解法一：∵APAB，∴∠APB∠B.作OE∥AP，交BP于点E，∴∠OEB∠APB∠B.∵AQ∥BP，∴∠QAB∠B180.又∵∠3∠OEB180，∴∠3∠QAB.又∵∠AOC∠2∠B∠1∠QOP，已知∠B∠QOP，∴∠1∠2.∴△QAO∽△OEP.∴AQAOEOEP，即AQ·EPEO·AO.∵OE∥AP，∴△OBE∽△ABP.∴13OEBEBOAPBPBA.∴OE13AP1，BP32EP.∴AQ·BPAQ·32EP32AO·OE32213.解法二：连接PQ，设AP与OQ相交于点F.∵AQ∥BP，∴∠QAP∠APB.∵APAB，∴∠APB∠B.∴∠QAP∠B.又∵∠QOP∠B，∴∠QAP∠QOP.∵∠QFA∠PFO，∴△QFA∽△PFO.∴FQFAFPFO，即FQFPFAFO.又∵∠PFQ∠OFA，∴△PFQ∽△OFA.∴∠3∠1.∵∠AOC∠2∠B∠1∠QOP，已知∠B∠QOP，∴∠1∠2.∴∠2∠3.∴△APQ∽△BPO.∴AQAPBOBP.∴AQ·BPAP·BO313.22.（满分14分）如图，抛物线y12(x3)21与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D了.（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：∠AEO∠ADC；[来源:学科网]（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.【答案】（1）顶点D的坐标为（3，1）.令y0，得12(x3)210，解得x132，x232.∵点A在点B的左侧，∴A点坐标(32，0)，B点坐标（32，0）.（2）过D作DG⊥y轴，垂足为G.则G（0，1），GD3.令x0，则y72，∴C点坐标为（0，72）.∴GC72(1)92.设对称轴交x轴于点M.∵OE⊥CD，∴∠GCD∠COH90.∵∠MOE∠COH90，∴∠MOE∠GCD.又∵∠CGD∠OMN90，∴△DCG∽△EOM.[来源:学科网ZXXK]∴9323CGDGOMEMEM，即.∴EM2，即点E坐标为(3，2)，ED3.由勾股定理，得AE26，AD23，∴AE2AD2639ED2.∴△AED是直角三角形，即∠DAE90.设AE交CD于点F.∴∠ADC∠AFD90.又∵∠AEO∠HFE90，∴∠AFD∠HFE，∴∠AEO∠ADC.（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2EP21.要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小.设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2(x3)2(y2)2.∵y12(x3)21，∴(x3)22y2.∴EP22y2y24y4(y1)25.当y1时，EP2最小值为5.把y1代入y12(x3)21，得12(x3)211，解得x11，x25.又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x11舍去.∴点P坐标为(5，1).此时Q点坐标为（3，1）或(191355，).