第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛综合试试题及答案

第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛（2005年1月29日上午）题1（5分）光滑平面上有两条长度均为2l、而质量为m的均匀蠕虫A和B。它们的起始位置如图所示，蠕虫A的质心位于x-y坐标（0,0）。蠕虫B开始慢慢从A身上爬过，爬时两虫的身体轴线始终保持夹角。试用参量l,表示：当蠕虫B爬过A后，两蠕虫各个质心位置的坐标。题2（13分）一体积为0.001m3的空气泡和一质量和体积与空气泡相同的钢瓶从水下2.0km深处放出。不考虑磨擦。气泡温度不变。空气在水面的密度为1.21kg/m3，大气压为1.0x105N/m2。(提示:abxdxbaln1)(a)求气泡到水面时体积。（3分）(b)求在深度h(h2.0km)时气泡和钢瓶净得的能量的表达式。（7分）(c)用该表达式求气泡和钢瓶到达水面时的速度。（3分）题3（12分）一质量为0.5M的人站在一以角速度旋转的厚度质量均匀，质量为0.5M，半径为R的圆台上。圆台与中心转轴间无磨擦。该人离圆台中心距离为r（R），并带有10颗质量为0.01M的石子。(a)求整个系统的总角动量。（4分）为了减速该人准备向外扔石子。石子扔出时相对于他的速度为v，方向与径向成夹角.(b)求当他扔了一石子后圆台的角速度，并找出使角速度减少最多的夹角max。（4分）(c)求当他以max扔光石子后圆台的角速度。(答案可用多项式表达)（4分）题4（8分）一均匀长竿长度为L，质量为M，在一半径为R(0.5L)的光滑半球面内处于静止状态。(a)求竿在其平衡位置附近作小幅振荡的频率。（4分）(b)已知小幅振荡时长竿偏离水平线最大偏角为max。长竿在最大偏角和水平时球面对竿端的力的强度的差可写成2maxMgN。求。（4分）题5（12分）xyABxyAB一电磁波的电场为)(00tkZiexEE，其中0E和ω为实常数,knc~，c为真空光速，n~为介质的介电常数（可以是复数）。(a)简单讨论电磁波在介质里传播过程中，当n~是实数，虚数，或复数时电磁波强度的变化。（4分）(b)求磁场B,以及Poynting向量在一个周期里的平均量)(10BES。（4分）(c)dzSdq是描述电磁波在介质里能量损失的物理量。计算q，并简单讨论当n~是实数，虚数，或复数时所得结果的物理意义。（3分）(d)根据上述结果，电磁波在介质里传播时如果其强度衰减，是否其能量一定有损失?（1分）第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛（2005年1月29日下午）题6（12分）下图中阴影部分为均匀磁场区。磁场方向垂直纸面向外。(a)一平面线圈带电流I，整个线圈在磁场区内，其平面与磁场垂直。求磁场对线圈的力。（3分）(b)当线圈有部分在磁场区外时，磁场对线圈的力可表达成F=wBI,其中w是线圈与磁场区边缘两交界点间的距离,其方向则向上或向下（由电流方向决定）。求。（3分）(c)一半圆型线圈半径为r,电阻为R，质量为m，从磁场区内下落。线圈平面始终与纸面平行，其直边始终与磁场区底部边缘平行，距离为y。不计线圈自感。导出决定y（R）的微分方程式。如果你求不到(b)部分的，你可当它是已知的。（6分）题7（15分）当一半导体被加上相互垂直的电场和磁场时，就会产生一与电流方向j垂直的电压HV。这一现象称为霍尔效应。(a)一半导体为WW的方型薄膜，里面的电流由带正电的载流子运动引起，每个载流子带电荷e，载流子面密度为n,半导体导电率为。另有一负电荷本底使半导体除了边缘以外处处中性。半导体内电场处处均匀。外加磁场B与薄膜垂直。当电压V加上后，除了产生X-方向的电流j外，还产生一与电流方向垂直的电压HV。求到达稳态时的霍尔系数VVRHH/。（注意电流j不是已知量）（6分）最近发现，在某些半导体里存在自旋霍尔效应。该效应与载流子固有的磁矩m有关。在二维系统中载流子会受到一附加的力)(vmFRR(Rashba力)。其中v为载流子在二维系统(X-Y)平面的速度，R为常数。磁矩m保持与平面垂直，因此zmm。注意这时无外加磁场。不计载流子磁矩间的相互作用。(b)设电场处处均匀，其沿X-方向的力远大于RF，求Y-方向的电流。电流与m是何关系?（6分）yw磁场区磁场区(a)(b)(c)jVyxzjVyxzBjHVVyxBjHVVyx(c)由于与边界的碰撞，载流子的磁矩方向过了时间之后就变成无序。也就是说每单位长度边界每秒钟有nm/的载流子的磁矩方向成为无序，其中nm是还保持磁矩方向(z)的载流子密度。求边缘区的磁化强度M。（3分）题8（23分）电流变液由绝缘液体（比如硅油）和许多悬浮其中的介电小球组成，是一种因外加电场而从液体形态变成固体形态的物质。如图所示一测试装置，包括两间距为D，面积为A的平行导电板，板间充满电流变液。两板间无电压时电流变液处于液体形态，因此两板可无磨擦地在水平方向相对运动。两板间加上电压V后，小球被电场极化并沿电场排成直行。一板相对另一板要平移一小距离x就需要一力f。切变模量的定义为xfAD。小球的半径为R（D）,介电常数为，总体小球占整个电流变液的体积比为m。无小球时液体的介电常数为1。不考虑重力。以下题目要求你将用上述物理量表达出来。(a)第一步要通过求解(a1)–(a3)来计算单一小球在一均匀外电场0E里的极化P。已知球体内的极化是均匀的，方向与0E相同。(a1)求在球心位置由极化P产生的电场。（3分）(a2)求球体内的总电场。（3分）(a3)单个小球极化产生的总电偶极子可表达成00Ep。求。（3分）(b)把小球近似当作位于球心的理想电偶极子，并只和0E有关。如果你没求出(a3)里的，你可以当它是已知常数来计算下面的问题。（提示：展开时保留到d2项，d是偶极子的长度。）(b1)求当两球接触，左右并排和上下排列时（如下图所示）的静电能量。（4分）(b2)求当一球与板接触时板对球的静电力。（3分）(b3)如下图所示，求当两球上下排列时，上面的球沿水平方向平移一小距离a时的水平回复力。（3分）(c)设加上电压后所有小球都排成连续的单行的细柱，连接上下导电板。根据你(b1)的答案，细柱容易粘在一起吗？只考虑同一柱内最邻近球之间的力，当上板平移了一小距离x时,每根柱最顶端的球仍然粘在板上跟板移动了同样距离。如右图所示，上面每个球都相对于下一个球移动了相同距离。最底部的球仍然粘在下板上不动。求切变模量.（4分）0E0E0E(b1)0E0E(b1)(b3)(b3)(b2)(b2)导电板导电板电流变液导电板导电板电流变液PanPearlRiverDeltaPhysicsOlympiad2005Jan.29th,2005MorningSessionMarkingSchemeQ1.OriginalPositionofA(center)A的起始中心位置:(0,0)----(1分)OriginalPositionofB(center)A的起始中心位置:(L/2cosθ,-L/2sinθ)---(1分)Center-of-massofA+BremainsfixedA+B的重心不变----(1分)FinalPositionofA(center)A的最终中心位置:(L/2cosθ,-L/2sinθ)----(1分)FinalPositionofB(center)B的最终中心位置:(0,0)------(1分)Q2.a.AccordingtotheBoyle’sLaw利用理想气体原理,2211VPVP2530]10)1028.91000[(NmPghPwh----(1分)271097.1Nm----(1分)3335700197.0)10(101097.1mmPVPVhh----(1分)共(3分)b.BuoyantForce浮力,gVFw(ww,)Forthetank钢瓶,hVV003310)197.0)(21.1(kgm34.238kgm----(1分)hgVEhtJJ4331048.1)102)(10)(8.9)(21.2431000(---(1分)Forthebubble气泡,Energygained=buoyantforcepart浮力作功P00PPbb)(000PghPw----(1分)FdhEbdhPghVPgPghPwwhw)()((0000000dhgVPghVgPhww00000)(hgVPghPVPw000000]ln[J)]102)(197.0)(8.9)(21.1(]197ln[)1097.1[(34J)3.424710041.1(5J510998.0----(1分)(ifassume如果假设w,wehavethefollowingmodification我们得到)FdhEbdhPghVPgwhw)(0000]ln[0000PghPVPwJ]197ln[)1097.1(4J510041.1共(7分)c.Forthetank钢瓶,tEmv221002VEvt14)197.0)(21.1()1048.1(2ms14.352ms----(1分)bEmv221002VEvb15)197.0)(21.1()10998.0(2ms12.915msor)197.0)(21.1()10041.1(25v15.934ms----(2分)共（3分）Q3.a.iiirmI22221)01.0(105.0(Rrlet取1Rnr22)5.06.0(rnIL22)5.06.0(rn(4分)b.2rmLwhere)5.06.0(2nMand01.0mInthe1stthrow,bytheconservationofangularmomentum,扔了一石子后，由角动量守恒)sin()(1221rvmrrmML----(2分)21sinMrmvrLFortheoptimumangletoslowdown,1sinC090----(1分)21MrmvrL)1(2MrmvMrL----(1分)共（4分）c.Forthe2ndstone扔第二颗石子后,212MrmvrL----(1分)where其中211)(rmMLandmMM1)11(2mMMrmvMrL----(1分)Forthenthstone扔第n颗石子后,ninmiMrmvMrL12)1(1101210)1(1imiMrmvMrL----(2分)共（4分）Q4.(a)长竿绕圆心运动。球面对长竿的力通过圆心，力矩为0。---（1分）AccordingtotheParallelAxisTheorem根据平行轴定理,22220121)41(MhMLLRMII---（2分）MghIT2where其中2241LRh2212121Lhghf---（1分）共（4分）（b）长竿最大偏角时两端的力分别为AtmaximumangletheforcesontheendsareNN,respectively)211(cossin22maxmaxMgMgN，---（1）其中whereRLR224/1sin。cos2maxmax2NMgMh---（2）max20sinINL---（3）Putting(3)into(2)onegetsthesamefrequencyasin(a)由(3)得N。将(3)代入(2)可得频率，与(a)相同。长竿水平时两端的力均为