第五届全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限2lim1sin14nnn.解因为222sin14sin142sin142nnnnn………（2分）；原式22lim1sinexplimln1sin142142nnnnnnnn…………………………………………………………………………………………(2分)；1422explimsinexplim142142nnnnennnn………(2分)2.证明广义积分0sinxdxx不是绝对收敛的解记1sinnnnxadxx，只要证明0nna发散即可。…………………………（2分）因为10112sinsin111nnnaxdxxdxnnn。……………（2分）而021nn发散，故由比较判别法0nna发散。……………………………………（2分）3.设函数yyx由323322xxyy确定，求yx的极值。解方程两边对x求导，得22236360xxyxyyy…………………（1分）故2222xxyyyx，令0y，得200xxyx或2xy………（2分）将2xy代入所给方程得2,1xy，将0x代入所给方程得0,1xy，………………………………………（2分）又2222222222422xxyyyxxxyyyxyyx0,1,02,1,0200220010,1020xyyxyyyy，故01y为极大值，21y为极小值。………………………………（3分）4.过曲线30yxx上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34，求点A的坐标。解设切点A的坐标为3,tt，曲线过A点的切线方程为33213ytxtt………………………………………………………………………………………（2分）；令0y，由切线方程得切线与x轴交点的横坐标为02xt。从而作图可知，所求平面图形的面积333013321244tStttxdxttt，故A点的坐标为1,1。…………………………………………………………（4分）二、（满分12）计算定积分2sinarctan1cosxxxeIdxx解0220sinarctansinarctan1cos1cosxxxxexxeIdxdxxx2200sinarctansinarctan1cos1cosxxxxexxedxdxxx…………………………………（4分）2200sinsinarctanarctan1cos21cosxxxxxxeedxdxxx……………………（2分）220sin21cosxdxx…………………………………………………………………（4分）230arctancos28x…………………………………………………………（2分）三、（满分12分）设fx在0x处存在二阶导数0f，且0lim0xfxx。证明：级数11nfn收敛。解由于fx在0x处可导必连续，由0lim0xfxx得000limlim0xxfxffxxx………………………………………………（2分）0000limlim00xxfxffxfxx…………………………………………（2分）由洛必塔法则及定义2000011limlimlim02202xxxfxfxfxffxxx………………………（3分）所以211lim021nfnfn…………………………………（2分）由于级数211nn收敛，从而由比较判别法的极限形式11nfn收敛。……（3分）四、（满分12分）设,0fxfxaxb，证明2sinbafxdxm解因为0fxaxb，所以fx在,ab上严格单调增，从而有反函数………………………………………………………………………………………（2分）。设,,AfaBfb是f的反函数，则110yfxm………（3分）又fx，则AB，所以sinsinbBxyaAfxdxyydy…（3分）000112sinsincosyydyydyymmm……………………（2分）五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分33323Ixxdydzyydzdxzzdxdy。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。解记围成的立体为V，由高斯公式22222236933231VVIxyzdvxyzdxdydz………………（3分）为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域2222310xyz，即取222,,231Vxyzxyz，曲面222:231xyz………（3分）为求最小值，作变换23xuvywz，则100,,11002,,61003xyzuvw，从而222316VIuvwdudvdw…………………………………………（4分）使用球坐标计算，得212200031sin6Iddrrdr0311362462cos453615156…………………………（4分）六、（满分14分）设22aaCydxxdyIrxy，其中a为常数，曲线C为椭圆222xxyyr，取正向。求极限limarIr解作变换2222xuvyuv（观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法），曲线C变为uov平面上的椭圆22231:22uvr（实现了简化积分曲线），也是取正向…（2分）而且2222,xyuvydxxdyvduudv（被积表达式没变，同样简单！），22aavduudvIruv………………………………………………………………（2分）曲线参数化2cos,2sin,:023urvr，则有223vduudvrd，2222100222222223322cos2sincos2sin33aaaarddIrrrr…（3分）令20222cos2sin3aadJ，则由于2222cos2sin233，从而0aJ。因此当1a时lim0arIr或1a时limarIr………（2分）而2/212222001,422cos2sincos2sin33ddaJ/222000tan1222arctan23031121/31/3tan33ddttt…（3分）12323Ir。故所求极限为0,1,12,1aaIraa…………………（2分）七（满分14分）判断级数1111212nnnn的敛散性，若收敛，求其和。解（1）记111,,1,2,3,212nnnaaunnnn因为1lnlim0,nnnn充分大时11011lnnnadxnnx………………（3分）所以321012nnunnn，而3121nn收敛，故1111212nnnn收敛…（2分）（2）记111,1,2,3,2kakk，则1111112121212nnnkkknkkkaaakSkkkkkk=1111222334112nnnnaaaaaaaannnn……………………（2分）=12132111123412nnnaaaaaaaann……………………（2分）=11111111123243122nnaannnnn…………………………（2分）因为11011lnnnadxnx，所以1ln022nannn，从而1lnlim02nnn，故lim02nnan。因此lim1001nnSS。（也可由此用定义推知级数的收敛性）……………（3分）