第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级决赛试题

第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级决赛试题一、（本题20分）判断与决赛利群商店积压了100件某种商品，为使这批商品尽快脱手，该商店采用了如下的销售方案：先将价格提高到原来售价的2.5倍，再作三次降价处理，第一次降价30％，标出“亏本价”；第二次又降价30％，标出“破产价”；第三次再降价30％，标出“跳楼价”．三次降价销售结果如下表所示：降价次数一二三销售件数1040一抢而光（1）如果一名消费者以促销的三种价格各买了一件该商品，请你通过计算说明相对于原售价，该消费者在促销活动中是否得到了实惠？（2）按新销售方案全部售完该商品，与按原价全部售完该商品相比，哪一种方案商场更赢利？（3）请结合（1），（2）的计算结果谈谈你对本销售方式的看法．二、（本题20分）操作与探究九年级（1）班为即将到来的“五·一”国际劳动节排练节目时需要3个底面圆半径为10厘米，母线长为20厘米的圆锥形小红帽（不计接缝损失）．（1）试确定这种圆锥形小红帽侧面展开图（扇形）的圆心角的度数；40图1（2）现有宽为40厘米的矩形布料可供选用，按照题目要求在图1中画出使布料能充分利用（最省料）的示意图，并求出矩形布料的长至少为多少厘米．三、（本题20分）图象与信息在对口扶贫活动中，企业甲将经营状况良好的某消费品专卖店，以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款还没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计利息）．从企业甲提供的相关资料中可知这种消费品的进价是每件14元；月销售量Q（百件）与销售单价P（元）的关系如图2所示；维持企业的正常运转每月需最低生活费外的各种开支2000元．（1）试确定月销售量Q（百件）与销售单价P（元）之间的函数关系式．（2）当商品的销售单价为多少元时，扣除职工最低生活费后的月利润余额最大？（3）企业乙依靠该店，最早可望在几年内脱贫？O2030()P元()Q百件105图2四、（本题20分）综合实践应用图3是王老师休假钓鱼时的一张照片，鱼杆前部分近似呈抛物线的形状，后部分呈直线形．已知抛物线上关于对称轴对称的两点BC，之间的距离为2米，顶点O离水面的高度为223米，人握的鱼杆底端D离水面113米，离拐点C的水平距离1米，且仰角为45，建立如图4所示的平面直角坐标系．（1）试根据上述信息确定抛物线BOC和CD所在直线的函数表达式；（2）当继续向上拉鱼使其刚好露出水面时，钓杆的倾斜角增大了15，直线部分的长度变成了1米（即ED长为1米），顶点向上增高23米，且右移12米（即顶点变为F），假设钓鱼线与人手（点D）的水平距离为124米，那么钓鱼线的长度为多少米？五、（本题30分）材料作文材料一：亲爱的同学们，你一定见过娱乐明星漫画吧！你能看出右边的歌星是谁吗？张学友！不错！尽管画得很夸张，但我们仍然一眼就能看出．这是因为虽然画像是夸张的、变形的，但画中人物的“特征不变量”在漫画中明显地表现出来了．我们在解决某些数学问题时，也应学会抓不变量，利用不变量解决问题．比如：图3ABCDEFOxy图4将9个数字1，2，3，4，5，6，7，8，9任意排列，组成的所有九位数中，质数的个数是多少？显然我们不可能将所有九位数一一列举，再一一验证．如果注意到这九个数字的和是45，能被3整除，因而所有的九位数都是3的倍数，问题就迎刃而解了：所有这些九位数中，质数个数为0．材料二：一年一度的春节联欢晚会不仅仅是老百姓不可缺少的“年夜饭”，也成了企业展示自己的大舞台———前仆后继，只为争得在“春晚”上露个脸．据了解，直接在春节联欢晚会前后播出的套装广告时间为10分钟，加上晚会上两次报时广告，时长各十秒．这样算来“春晚”广告时长总共为620秒．620秒的广告费价值多少呢？请看下面提供的资料：春晚广告四种主要形式报时广告：966万央视春晚在20时和零时分别有时段报时．20点与零点两个报时广告的起价分别为539万元与966万元．贺电广告：1000万在春晚进行当中，主持人会以刚刚收到贺电的形式告诉观众××单位给观众拜年，祝愿新年快乐．贺电是央视赠送给投放额度在1000万元以上的企业的．字幕广告：500万春晚结束之际，电视上会出现一些央视的鸣谢单位，这些单位就是投放央视广告额超过500万元或购得晚会片尾鸣谢字幕的企业．冠名广告：4508万“2006年我最喜爱的春节晚会节目评选”独家冠名，被杭州民生药业以4508万元夺取．阅读以上材料，你有什么体会？是否觉得生活与数学有很强的互融性？请结合你的学习、生活实际，写一篇数学小短文，字数控制在600字以内．六、（本题40分）数学作文从下列题目中任选其一，联系相关知识及现实生活，写一篇数学作文，字数控制在1000字左右．1．一堂有趣的数学活动课2．我说统计3．游戏与数学4．我在生活中用数学5．我与学用杯竞赛6．数字0是数学中的一个极为重要的角色，它活泼、机灵、神通广大，但又“调皮”、“桀骜不训”．如果能充分理解、把握它的脾气和秉性，它能帮你排忧解难，否则，它也会使你误入歧途，吃尽苦头，甚至碰得“头破血流”．我国著名数学家、数学教育家傅种孙先生说过，要想学好数学，就要“问道于零”．请自拟题目，谈谈你对这段话的理解．参考答案一、解：（1）设原价为x元，则在促销活动中该消费者各买一件商品共花费32.50.72.50.70.72.50.73.8325xxxx（元）．········3分而按原价购买三件该商品需3x元．·················6分所以该消费者在此次促销活动中没有得到实惠．···········8分（2）按原价出售时，销售金额为100x．··············10分按促销价出售时，销售金额为：32.50.7102.50.70.7402.50.750109.375xxxx．·····13分因为109.375100xx，所以新销售方案商场更赢利．·········15分（3）视解答情况给0~5分．二、解：（1）设圆心角的度数为n，则20210180n．························3分所以180n．所以此圆锥形小红帽侧面展开图的圆心角度数为180．··5分（2）因为扇形的圆心角为180，圆锥母线长为20厘米，所以这个扇形的半径为20厘米的半圆．如图1所示，当三个半圆所在圆两两外切，且半圆的直径与长方形的边垂直时，能使布料得以充分利用．·············10分如图2，连接12OO，23OO，31OO．因为1O，2O，3O两两外切，12320AOBOCO，所以1223311340OOOOOOOACO．过点3O作312OEOO，垂足为E．图1401O图240ABCDE2O3O因为2313OOOO，所以12121202OEOEOO．在13OEO△中，1390OEO∠，根据勾股定理222231314020203EOOOOE．·······15分因为四边形ABCD是矩形，所以ADBC∥，ADBC，90AD∠∠．因为12AOBO，12AOBO∥，所以四边形21ABOO是矩形．所以1290AOO∠．所以13OEDO∥．又因为13OEDO，所以四边形13OEOD是平行四边形．所以31EOOD．所以1120203ADAOOD．·················20分因此矩形布料的长至少应为(20203)厘米．三、（1）由图象可知，月销售量Q（百件）与销售单价P（元）是一次函数关系，设QPxb，··························2分则有1020Pb，530Pb．··················4分解得1202Pb．所以1202Qx．··············6分（2）设月利润为W，则有100(14)(20003600)WQx··················10分110020(14)(20003600)2xx250270033600xx250(54729)2850xx250(27)2850x．所以当销售单价为27元时，月利润最大为2850元．·········12分（3）设x年内可脱贫，由（2）知最大月利润为2850元．·······14分2850125000058000x≥．···················16分3.2x≥年．···························18分所以，企业乙最早在4年内脱贫．·················20分四、解：（1）由已知，得113C，．设抛物线BOC的函数表达式为2yax．则13a，所以213yx．设直线CD的函数表达式为ykxb，由CD，点的坐标分别为113，，1213，得1342.3kbkb，解得1k，23b．所以23yx．·························10分（2）由已知，得334223E，，1223F，．·············14分设这时抛物线的函数表达式为21223ymx．则23123422323m．所以322m．所以23122223yx．··················18分又由已知A点的横坐标为14，得127344496A，．所以钓鱼线的最小长度为27321296米．