第四章 几个初等函数的性质【数学竞赛讲义】

第四章几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如y=ax(a0,a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0a1时，y=ax是减函数，当a1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。2．分数指数幂：nmnmnnnmnmnnaaaaaaaa1,1,,1。3．对数函数及其性质：形如y=logax(a0,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0a1，y=logax为减函数，当a1时，y=logax为增函数。4．对数的性质（M0,N0）；1）ax=Mx=logaM(a0,a1)；2）loga(MN)=logaM+logaN；3）loga（NM）=logaM-logaN；4）logaMn=nlogaM；，5）loganM=n1logaM；6）alogaM=M;7)logab=abccloglog(a,b,c0,a,c1).5.函数y=x+xa（a0）的单调递增区间是a,和,a，单调递减区间为0,a和a,0。（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若ab,f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。二、方法与例题1．构造函数解题。例1已知a,b,c∈(-1,1)，求证：ab+bc+ca+10.【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1(x∈(-1,1))，则f(x)是关于x的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证f(-1)0且f(1)0（因为-1a1）.因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以f(a)0，即ab+bc+ca+10.例2（柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全为0的实数，b1,b2,…,bn∈R，则（niia12）·（niib12）≥(niiiba1)2，等号当且仅当存在R，使ai=ib,i=1,2,…,n时成立。【证明】令f(x)=（niia12）x2-2(niiiba1)x+niib12=niiibxa12)(,因为niia120，且对任意x∈R,f(x)≥0，所以△=4(niiiba1)-4（niia12）(niib12)≤0.展开得（niia12）(niib12)≥(niiiba1)2。等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=ib,i=1,2,…,n。例3设x,y∈R+,x+y=c,c为常数且c∈(0,2]，求u=yyxx11的最小值。【解】u=yyxx11=xy+xyxyyx1≥xy+xy1+2·xyyx=xy+xy1+2.令xy=t，则0t=xy≤44)(22cyx,设f(t)=t+t1,0t≤.42c因为0c≤2，所以042c≤1，所以f(t)在4,02c上单调递减。所以f(t)min=f(42c)=42c+24c，所以u≥42c+24c+2.当x=y=2c时，等号成立.所以u的最小值为42c+24c+2.2．指数和对数的运算技巧。例4设p,q∈R+且满足log9p=log12q=log16(p+q)，求pq的值。【解】令log9p=log12q=log16(p+q)=t，则p=9t,q=12t,p+q=16t，所以9t+12t=16t，即1+.34342tt记x=tttpq34912，则1+x=x2，解得.251x又pq0，所以pq=.251例5对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w，若ax=by=cz=70w，且wzyx1111，求证：a+b=c.【证明】由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以w1lga=x1lg70,w1lgb=y1lg70,w1lgc=z1lg70，相加得w1(lga+lgb+lgc)=zyx111lg70，由题设wzyx1111，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=2×5×7.若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a1.又a≤b≤c，且a,b,c为70的正约数，所以只有a=2,b=5,c=7.所以a+b=c.例6已知x1,ac1,a1,c1.且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.【证明】由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得bxcxxaaaaaloglog2logloglog，因为ac0,ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。3．指数与对数方程的解法。解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。例7解方程：3x+4x+5x=6x.【解】方程可化为xxx653221=1。设f(x)=xxx653221,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.例8解方程组：312xyyxyxyx（其中x,y∈R+）.【解】两边取对数，则原方程组可化为.3lg)(lg12lg)(glxyyxyxyx①②把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x,y∈R+)得x+y=6，代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.又y0，所以y=2,x=4.所以方程组的解为24;112211yxyx.例9已知a0,a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。【解】由对数性质知，原方程的解x应满足00)(22222axakxaxakx.①②③若①、②同时成立，则③必成立，故只需解0)(222akxaxakx.由①可得2kx=a(1+k2)，④当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=kka2)1(2，代入②得kk212k.若k0，则k21，所以k-1；若k0，则k21，所以0k1.综上，当k∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解。三、基础训练题1．命题p:“(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y≥0”的_________条件。2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_________.3．已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|1的解集为_________。4．若log2aaa1120，则a取值范围是_________。5．命题p:函数y=log23xax在[2，+∞）上是增函数；命题q:函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条件。6．若0b1,a0且a1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b).7．已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。8．若x=31log131log15121，则与x最接近的整数是_________。9．函数xxy1111log21的单调递增区间是_________。10．函数f(x)=2,235212xxxx的值域为_________。11．设f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nx·a]，其中n为给定正整数,n≥2,a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。12．当a为何值时，方程)lg(2lgaxx=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1．函数f(x)=18x+lg(x2-1)的定义域是_________.2．已知不等式x2-logmx0在x∈21,0时恒成立，则m的取值范围是_________.3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2,x,1从大到小排列是_________.4.若f(x)=lnxx11，则使f(a)+f(b)=abbaf1_________.5.命题p:函数y=log23xax在[2，+∞）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条件.6．若0b1,a0且a1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b)|.7．已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.8．若x=31log131log15121，则与x最接近的整数是_________.9．函数y=xx1111log21的单调递增区间是_________.10．函数f(x)=2,235212xxxx的值域为_________.11．设f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nx·a]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。12．当a为何值时，方程)lg(2lgaxx=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1．函数f(x)=18x+lg(x2-1)的定义域是__________.2．已知不等式x2-logmx0在x∈21,0时恒成立，则m的取值范围是________.3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2,x,1从大到小排列是________.4．若f(x)=lnxx11，则使f(a)+f(b)=abbaf1成立的a,b的取值范围是________.5．已知an=logn(n+1)，设pqann10232100log1，其中p,q为整数，且(p,q)=1，则p·q的值为_________.6．已知x10,y10,xy=1000，则(lgx)·(lgy)的取值范围是________.7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是________.8．函数f(x)=101||1|lg|xxx的定义域为R，若关于x的方程f-2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b,c应满足的充要条件是________.（1）b0且c0；（2）b0且c0；（3）b0且c=0；（4）b≥0且c=0。9．已知f(x)=21121xx,F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，则F(x)是________函数（填奇偶性）.10．已知f(x)=lgxx11，若abbaf1=1，abbaf1=2，其中|a|1,|b|1，则f(a)+f(b)=________.11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。12．设f(x)=|lgx|，实数a,b满足0ab,f(a)=f(b)=2f2ba，求证：（1）a4+2a2-4a+1=0,b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b4.13．