第十五章 复数【数学竞赛讲义】

第十五章复数一、基础知识1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z).r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22ba.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，则z=reiθ，称为复数的指数形式。3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则za-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121zzzz；（2）2121zzzz；（3）2||zzz；（4）2121zzzz；（5）||||||2121zzzz；（6）||||||2121zzzz；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则zz1。4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1••z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若21212,0rrzzz[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),.)(212121ierrzz5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).6.开方：若nwr(cosθ+isinθ)，则)2sin2(cosnkinkrwn，k=0,1,2,…,n-1。7．单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=nin2sin2cos，则全部单位根可表示为1,1Z,1121,,nZZ.单位根的基本性质有（这里记kkZZ1，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）对任意整数m，当n≥2时，有mnmmZZZ1211=,|,,|,0mnnmn当当特别1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-21Z)…(x-11nZ).8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等。9．复数z是实数的充要条件是z=z;z是纯虚数的充要条件是：z+z=0（且z≠0）.10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则z=a-bi也是一个根。12．若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2-4ac0时方程的根为.22,1aibx二、方法与例题1．模的应用。例1求证：当n∈N+时，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有纯虚根。[证明]若z是方程的根，则(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(z+1)=(z-1)(z-1)，化简得z+z=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。例2设f(z)=z2+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。[解]因为4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等号成立。所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.2.复数相等。例3设λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根，求λ满足的充要条件。[解]若方程有实根，则方程组00122xxxx有实根，由方程组得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，则方程x2-x+1=0中Δ0无实根，所以λ≠-1。所以x=-1,λ=2.所以当λ≠2时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为λ≠2。3．三角形式的应用。例4设n≤2000,n∈N，且存在θ满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？[解]由题设得)2sin()2cos()2sin()2(cos)]2sin()2[cos(nininin，所以n=4k+1.又因为0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以这样的n有500个。4．二项式定理的应用。例5计算：（1）100100410021000100CCCC；（2）99100510031001100CCCC[解](1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二项式定理(1+i)100=10010010099991002210011000100iCiCiCiCC=100100410021000100(CCCC)+(99100510031001100CCCC)i，比较实部和虚部，得100100410021000100CCCC=-250，99100510031001100CCCC=0。5．复数乘法的几何意义。例6以定长线段BC为一边任作ΔABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求证：MN的中点为定点。[证明]设|BC|=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，则B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z1,z2,z3,azBAazCA11,，由复数乘法的几何意义得：)(13aziazCN，①)(12aziazBM，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=aizz232,为定值，所以MN的中点P为定点。例7设A，B，C，D为平面上任意四点，求证：AB•AD+BC•AD≥AC•BD。[证明]用A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B|•|C-D|+|B-C|•|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|•|C-D|+|B-C|•|A-D|≥|A-C|•|B-D|,“=”成立当且仅当)()(DCCBArgADABArg，即)()(CDCBArgABADArg=π，即A，B，C，D共圆时成立。不等式得证。6．复数与轨迹。例8ΔABC的顶点A表示的复数为3i，底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2，求ΔABC的外心轨迹。[解]设外心M对应的复数为z=x+yi(x,y∈R)，B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点M对应的复数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得).34(62yx所以ΔABC的外心轨迹是轨物线。7．复数与三角。例9已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求证：cos2α+cos2β+cos2γ=0。[证明]令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，则z1+z2+z3=0。所以.0321321zzzzzz又因为|zi|=1,i=1,2,3.所以zi•iz=1，即.1iizz由z1+z2+z3=0得.0222133221232221zzzzzzxxx①又.0)(111321321321321132321zzzzzzzzzzzzzzzzzz所以.0232221zzz所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。例10求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.[解]令w=cos200+isin200,则w18=1，令P=sin200+2sin400+…+18sin18×200,则S+iP=w+2w2+…+18w18.①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19，②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19=1918181)1(，所以S+iP=iww23219118，所以.29S8．复数与多项式。例11已知f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn是n次复系数多项式(c0≠0).求证：一定存在一个复数z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.[证明]记c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，则方程g(Z)-c0eiθ=0为n次方程，其必有n个根，设为z1,z2,…,zn，从而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)•…•(z-zn)c0，令z=0得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0，取模得|z1z2…zn|=1。所以z1,z2,…，zn中必有一个zi使得|zi|≤1,从而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|.9.单位根的应用。例12证明：自⊙O上任意一点p到正多边形A1A2…An各个顶点的距离的平方和为定值。[证明]取此圆为单位圆，O为原点，射线OAn为实轴正半轴，建立复平面，顶点A1对应复数设为ine2，则顶点A2A3…An对应复数分别为ε2，ε3，…，εn.设点p对应复数z,则|z|=1,且=2n-nkkknkkknkknkkzzzzzpA111212)2())((||||=2n-.221111nzznzznkknkknkknkk命题得证。10．复数与几何。例13如图15-2所示，在四边形ABCD内存在一点P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P为直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q为直角顶点的等腰直角三角形。[证明]以P为原点建立复平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它们对应的复数，由题设及复数乘法的几何意义知D=iC,B=iA；取iiBCQ1，则C