第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(初一组)

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（初一组）（时间:2010年4月10日10:00～11:30）一、填空题(每题10分,共80分)1.互不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A,B,C.如果||||||cbacba,那么在点A,B,C中,居中的是点.2.右图所示的立体图形由9个棱长为1的正方体木块搭成,这个立体图形的表面积为.3.汽车A从甲站出发开往乙站,同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站,途中A与B相遇后15分钟再与C相遇.已知A、B、C的速度分别是每小时90km,80km,70km,那么甲乙两站的路程是km.4.把自然数2010~1分组,要求每组内任意3个数的最大公约数为1,则至少需要分成组.5.已知正n边形的内角度数的两倍为整数,那么这样的正整数n有个.6.已知3252372accbba,则cbacba65223的值等于.7.六人参加乒乓球比赛,每两人赛一场,分胜负,无平局.最终他们胜的场数分别是a,b,b,c,d,d,且dcba,那么a等于.8.某中学新建游泳池开启使用,先用一天时间匀速将空游泳池注满,经两天的处理后同速将水放光;然后开始同速注水,注满一半时,将注水速度加倍直到注满.请在下图中用图表示游泳池中水量随时间的变化关系.二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)9.能否找到7个整数,使得这7个整数沿圆周排成一圈后,任3个相邻数的和都等29?如果能,请举一例.如果不能,请简述理由.10.已知k是满足20101910k的整数,并且使二元一次方程组kyxyx54745有整数解.问:这样的整数k有多少个?11.所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m,所有以质数q为分母的最简真分数的和记为n.若48mn,求nm的可能值.总分12.解方程80][xx,其中[x]表示不大于x的最大整数.三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13.右图中,ABC,BCD,CDE,DEF,EFA,FAB的面积之和等于六边形ABCDEF的面积.又图中的6个阴影三角形面积之和等于六边形ABCDEF的面积的31.求六边形111111FEDCBA的面积与六边形ABCDEF的面积之比.14.一个单项式加上多项式52)1(92xx后等于一个整式的平方,试求所有这样的单项式.装第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（初一组）一、填空(每题10分,共80分)题号1234567答案A3268050328112658.解答.二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)9.答案:不能.解答.假设存在7个整数7654321,,,,,,aaaaaaa排成一圈后,满足任3个相邻数的和都等于29.则29321aaa,29432aaa,29543aaa,29654aaa,29765aaa,29176aaa,29217aaa.将上述7式相加,得729)(37654321aaaaaaa.所以326737297654321aaaaaaa,与7654321aaaaaaa为整数矛盾!所以不存在满足题设要求的7个整数.10.答案:2.解答.直接解方程组,4128541435kykx.当nkmk4152841435(其中m和n是整数)(1)时方程组有整数解.消去上面方程中的k,得到745nm.(2)从(2)解得lnlm5243(其中l是整数).(3)将(3)代入(1)中一个方程lk164123435,lk4122.解不等式201041221910l,411988411888l,41204841246l.因此共有2个k值使原方程有整数解.11.答案:49,14.96.5（96.5可答可不答）解答.因为p为质数,所以pppp1,,2,1为最简真分数,所以21)1(21pppm.同理可得21qn.所以6(1)(1)23pq.首先,因为上式右端3的因子只有一个,所以p和q不可能相等,不妨设pq.因为6232964488241612326=643,所以p和q可以是以下情形:3,97qp,对应的49nm;13,17qp,对应的14nm.12.答案:980x.解答.当0ba时,有][][bbaa.当ba0时,有][][bbaa.由于]9[9818064]8[8,可以断言,如果方程有正数解x,则}{8xx.因此808}){8(x,2}{x是不可能的.另一方面,]9[9818064]8[8,可以断言,如果方程有负数解x,则}{9xx.因此80)9(}){9(x,1}{9x,91}{x,980x.故原方程的解为980x.三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13.答案:31.解答.记六边形111111FEDCBA的面积为S,图中阴影部分的面积为S1;记△ABC,△BCD,△CDE,△DEF,△EFA,△FAB的面积之和为S2,由这六个三角形组成的图形除去阴影部分的面积为S3,由题设条件可知S2=ABCDEFS,S1=31ABCDEFS.在计算S2时,加了两次S3,所以3122SSS,从而得ABCDEFSS313.又31SSSSABCDEF,所以ABCDEFSS31.故31ABCDEFSS.14.答案:216x,或8x,或32x,或649.解答.设所求的单项式是max,0m.52)1(92xx共有3个不为同类项的单项式,如果3m,则多项式52)1(92xx+max中不为同类项的单项式有4项,不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方,如果写成至少有3项不为同类项的单项式和的平方,则展开后,至少有5个不为同类项的单项式,所以,得到2m.222291251691620452;xxxxxx22222291258912432;912532912432;xxxxxxxxxxxx222641001091259203;993xxxxx所求的单项式为216x,或8x,或32x,或649,再无其他解答.