第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷(七年级组A卷)含答案

初中七年级组A卷-1-江苏教育出版社《时代学习报》杯第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（七年级组A卷）（时间:2011年4月16日10:00～11:30）注意事项：1、请选手先填好答题纸密封线内的考生信息，并将本试卷的所有答案写在答题纸上；2、不允许使用计算器、MP3、手机等具有记忆功能或计算功能的电子设备．选手诚信协议：在参加本次“华杯赛”活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式进行交流或讨论．我确定本试卷的答案均为我个人独立完成的成果，否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议．选手签名：.一、填空题（每小题10分,共80分）1、公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数,其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示,如下图所示.由于其中三支应该亮的荧光管不亮了,某公交线路号显示成了“351”路,则该公交线路号可能有▲种.2、27个正奇数的平均数,精确到0.1是15.9,精确到0.01是▲.3、从2001~2011这11个整数中,选3个数使他们的和能被3整除,则不同的选数法共有▲种.4、如右图,长方体中J为棱EF上一点,三角形EHJ与三角形JFB的面积都是50平方厘米,四边形BCGF的周长为24厘米,长方体的体积是▲立方厘米.5、一水池有三个流量相同的注排两用水管,开一个水管一个小时注排水50立方米.假设先开一个进水管注满半池水,再同时开三个进水管注满另一半池水；排水时,先用32时间开三个水管同时排水,再用31时间只开一个水管排水,把池中水排尽.这样排完一池水所化时间比前面注满一池水少用2个小时.水池的容积是▲立方米.初中七年级组A卷-2-6、有▲个不同的整数a,使得1730242aaa是正整数.7、用][x表示不大于x的最大整数,][}{xxx,则2011201075201137520112752011175的值等于▲.8、在33的方格图内,填上适当的整数,就能使每一行、每一列和每条对角线上三个数之和都相等,此和记作s.如果下列两个方格图中都要填上2,0,1和3四个数,另外至少再加▲个不同的整数,方能使得两个方格图的s不同.二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出解题过程)9、一本书标有2011页,从第一页开始每11页就在最后一页的页面加注一个红圈,直到末页.然后从末页开始向前,每21页也在最前一页加注一个红圈,直到第一页.问一共有多少页加注了两个红圈,并写出它们的页面号码.10、如图,NM,分别为四边形ABCD对角线BDAC、的中点,过NM、的直线分别交ABCD、于FE、.如果三角形ABE的面积为45,求三角形CDF的面积.11、设||,|,||,|121211nnnxSSxSSxS,将2011,,3,2,1这些数适当地分配给2011321,,,,xxxx,使得2011S尽量大,那么2011S最大是多少？12、求所有正整数x,y,使得x2＋3y与y2＋3x都是完全平方数．三、解答下列各题（每小题15分,共30分,要求写出详细过程）13、在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,L是过A的一条直线,BD⊥L于D,CE⊥L于E,给出BD=a,DE=b,求CE的长度.14、设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数,问这个月的20日可能是星期几?初中七年级组A卷-3-第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初中组）一、填空题(每小题10分，共80分)题号12345678答案1115.89571200420610054二、解答下列各题(每题10分，共40分,要求写出简要过程)9.答案：9解：第一次从前向后加注红圈时，设加红圈的页面号码为m，则111,1,2,3,2011mkkm（1）由11120112011111829k，1182k第二次从后向前加注红圈时，由2011219516，可知这时加红圈的页面号码m就是从第16页开始向后每隔20页加注红圈的页面号码，除了第16页和最末的一页（第2011页）是例外，于是第二次加注红圈的页面号码就是''1621,0,1,2,,94mkk（2）结合（1）和（2）于是得到''''111162111()10154mkkkkkk于是16214100m是两圈重合的页面号码之最小者，注意到11和21的最大公约数[11,21]231，因此，两圈重合的页面号码一般是100231mk，由100231201108kk。所以，两圈重合的页面有9页。10.答案：45解：因为M是AC的中点，所以EFCA到与的距离相等，因此CEFAEFSS。同理：DEFBEFSS。两式相加可得CDFABESS。初中七年级组A卷-4-故三角形CDF的面积是45。11.答案：2010解答：注意到任何非零正整数x、y、z，总有||yx小于x并且小于y，即||yx小于},{yx中最大值。||||zyx小于||yx并且小于z，而x-y||小于},{yx中最大值，故||||zyx小于},,{zyx中最大值。所以有小于2011321,,,,xxxx中最大值。易知2011S的奇偶性与和100620112011212011321xxxx的奇偶性相同，为偶数。所以它不能等于2011，最大可能为2010。另一方面，对于任意四个连续的自然数3,2,1,nnnn，有0|)1(|)3(|)2(-|||nnnn，故有2010|2011|1|2|2008|2010|2009|2007||)34(|)64(|)54(|)34(||4|6|53||||2011kkkk个综上所述|x||x|xx||||2011321个“|”2011的最大值为2010。12.答案：所有解为(1，1)，(11，16)，(16，11)解：若x＝y∈N*，且x2＋3x为完全平方数，而(x＋1)2＝x2＋2x＋1≤x2＋2x＋x＝x2＋3x＜x2＋4x＋4＝(x＋2)2．∴当且仅当x＝1时等号成立，∴x＝y＝1；若x＞y，则x2＜x2＋3＜x2＋3y＜x2＋3x＜(x＋2)2．∴x2＋3y＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1．∴3y＝2x＋12x＝3y－1＝2y＋y－1，从而y－1＝2k(k∈N*)；此时有x＝3k＋1．y2＋3x＝(2k＋1)2＋9k＋3＝4k2＋13k＋4．∵(2k＋2)2＝4k2＋8k＋4＜4k2＋13k＋4＜(2k＋4)2＝4k2＋16k＋16．∴只能有4k2＋13k＋4＝(2k＋3)2＝4k2＋12k＋9k＝5．∴x＝16，y＝11．∴所有解为(x，y)＝(1，1)，(11，16)，(16，11)．初中七年级组A卷-5-三、解答下列各题(每小题15分，共30分，要求写出详细过程)13.答案：|a-b|解答：分两种情况：（1）B和C分别在L的两侧，如下图。CBAED'D三角形ABD绕A选择到AD’C的位置，由ABD+DAB=DAB+CAE=90o,知ABD=CAE，BAD+CAE=ACE+CAE=90o,知BAD=ACE,AB=AC,所以四边形AECD’是长方形,那么AD=AD’=CE,BD=CD’=AE=AD+DE=CE+DE.a=CE+b，∴CE=||ba（2）B和C分别在L一侧，如下图CBADED'类似于（1），可以得出：DE=DB+CE.b=CE+a，∴CE=||ba14.答案:3；5.解答.设这个月的第一个星期日是a日（1≤a≤7）,则这个月内星期日的日期是).317(7ak，kak是整数要求有三个奇数。当a=1时，要使7k+a是奇数，k为偶数，即k可取0,2,4三个值，此时，29,15,1177kak这时20号是星期五。初中七年级组A卷-6-当a=2时，要使7k+a是奇数，k为奇数，即k可取1，3两个值，7k+a不可能有三个奇数；当a=3时，要使7k+a是奇数，k为偶数，即k可取0，2，4三个值，此时31,17,3377kak此时20号是星期三。当74a时，ak7不可能有三个奇数。因此，本月的三个星期日是1号，15号和29号。于是本月20号是星期五.注：2011年五月就是这种情况。七月有31天，3号，17号，31号是星期日.