第三章 函数【数学竞赛讲义】

第三章函数一、基础知识定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:A→B为一个映射。定义2单射，若f:A→B是一个映射且对任意x,y∈A,xy,都有f(x)f(y)则称之为单射。定义3满射，若f:A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f:A→B是A到B上的满射。定义4一一映射，若f:A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1:A→B。定义5函数，映射f:A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A,y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3x-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.定义6反函数，若函数f:A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1:A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x).这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x,y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=x11的反函数是y=1-x1(x0).定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义7函数的性质。（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1,x2∈I并且x1x2，总有f(x1)f(x2)(f(x-)f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义8如果实数ab，则数集{x|axb,x∈R}叫做开区间，记作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}记作闭区间[a,b]，集合{x|ax≤b}记作半开半闭区间（a,b]，集合{x|a≤xb}记作半闭半开区间[a,b)，集合{x|xa}记作开区间（a,+∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].定义9函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x),x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=x21,u=2-x在（-∞,2）上是减函数，y=u1在（0，+∞）上是减函数，所以y=x21在（-∞,2）上是增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。二、方法与例题1．数形结合法。例1求方程|x-1|=x1的正根的个数.xyx11x【解】分别画出y=|x-1|和y=x1的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。例2求函数f(x)=113632424xxxxx的最大值。【解】f(x)=222222)0()1()3()2(xxxx，记点P(x,x-2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。因为|PA|-|PA|≤|AB|=10)12(322,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。所以f(x)max=.102.函数性质的应用。例3设x,y∈R，且满足1)1(1997)1(1)1(1997)1(32yyxx，求x+y.【解】设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若ab，则f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)0，所以f(t)递增。由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例4奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围。【解】因为f(x)是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)。又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得0a1。例5设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。【解】设x∈Ik，则2k-1x≤2k+1，所以f(x-2k)=(x-2k)2.又因为f(x)是以2为周期的函数，所以当x∈Ik时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.例6解方程：(3x-1)(15692xx)+(2x-3)(131242xx+1)=0.【解】令m=3x-1,n=2x-3，方程化为m(42m+1)+n(42n+1)=0.①若m=0，则由①得n=0，但m,n不同时为0，所以m0,n0.ⅰ)若m0，则由①得n0，设f(t)=t(42t+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=.54ⅱ)若m0，且n0。同理有m+n=0,x=54,但与m0矛盾。综上，方程有唯一实数解x=.543.配方法。例7求函数y=x+12x的值域。【解】y=x+12x=21[2x+1+212x+1]-1=21(12x+1)-1≥21-1=-21.当x=-21时，y取最小值-21，所以函数值域是[-21，+∞）。4．换元法。例8求函数y=(x1+x1+2)(21x+1),x∈[0,1]的值域。【解】令x1+x1=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+221x≤4,所以2≤u≤2,所以222≤22u≤2，1≤22u≤2，所以y=22u,u2∈[2+2，8]。所以该函数值域为[2+2，8]。5．判别式法。例9求函数y=434322xxxx的值域。【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0.①当y1时，①式是关于x的方程有实根。所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得71≤y≤1.又当y=1时，存在x=0使解析式成立，所以函数值域为[71，7]。6．关于反函数。例10若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函数。【证明】设x1x2,且y1=f-1(x1),y2=f-1(x2)，则x1=f(y1),x2=f(y2)，若y1≥y2，则因为f(x)在(-∞,+∞)上递增，所以x1≥x2与假设矛盾，所以y1y2。即y=f-1(x)在(-∞,+∞)递增。例11设函数f(x)=42314xx，解方程：f(x)=f-1(x).【解】首先f(x)定义域为（-∞，-32）∪[-41，+∞）；其次，设x1,x2是定义域内变量，且x1x2-32;231422xx231411xx=)23)(23()(51212xxxx0,所以f(x)在（-∞，-32）上递增，同理f(x)在[-41，+∞）上递增。在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-41，+∞）.若xy，设xy，则f(x)=yf(y)=x，矛盾。同理若xy也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.三、基础训练题1．已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，映射f：X→Y满足：对任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_______个。2．给定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f为单射，则f有_______个；若f为满射，则f有_______个；满足f[f(x)]=f(x)的映射有_______个。3．若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_______个交点。4．函数y=f(x)的值域为[94,83]，则函数g(x)=f(x)+)(21xf的值域为_______。5．已知f(x)=11x，则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。6．已知f(x)=|x+a|，当x≥3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_______。7．设y=f(x)在定义域（21，2）内是增函数，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。8．若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_______对称。9．函数f(x)满足xxf1=1-211xx，则f(x1)=_______。10.函数y=11xx,x∈(1,+∞)的反函数是_______。11．求下列函数的值域：（1）y=12xx;(2)y=111xxxx;(3)y=x+21x;(4)y=.212xx12.已知)(xfy定义在R上，对任意x∈R,f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[-2,0]时，求f(x)的解析式。四、高考水平训练题1．已知a∈0,21,f(x)定义域是（0,1]，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。2．设0≤a1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______。3．映射f:{a,b,c,d}→{1，2，3}满足10f(a)·f(b)·f(c)·f(d)20，这样的映射f有_______个。4．设函数y=f(x)(x∈R)的值域为R，且为增函数，若方程f(x)=x解集为P，f[f(x)]=x解集为Q，则P，Q的关系为：P_______Q（填=、、）。5．下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(x-1)xx11；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1|;(3)(x)=2211xx；（4）y=.11xx6.设函数y=f(x)(x∈R且x0)，对任意非零实数x1,x2满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函数，则不等式f(x)+f(x-21)≤0的解集为_______。7．函数f(x)=MxxPxx，其中P，M为R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}，给出如下判断：①若P∩M=，则f(P)∩f(M)=；②若P∩M，则f(P)∩f(M)；③若P∪M=R,则f(P)∪f(M)=R；④