第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题(A)

第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题（A）卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧．愿你能够放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．一、选择题（每小题6分，共30分）1．校园内一个半径为10米的圆形草坪，如图1，一部分学生为走“捷径”，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些学生踩坏了花草，其实仅仅少走了（假设2步为1米，结果保留整数）（）A．4步B．5步C．6步D．7步2．小红的妈妈做了一个矩形枕套（长、宽不等），又在枕套四周镶上了相同宽度的花边，如图2所示，关于两个矩形，下列说法正确的是（）A．两个矩形相似B．两个矩形不一定相似C．两个矩形一定不相似D．无法判断两个矩形是否相似3．如图3，方台村为了抽取水库的水来浇灌山上的果木树，准备在山坡上建一个抽水泵站．已知山坡上有A、P、Q三处可供选择，且测得A到水库C的距离为50m，P到C的距离为40m，Q到C的距离为35m，山坡的坡角∠ACB=15°．由于大气压的影响，此种水泵的实际吸水扬程AB不能超过10m，否则无法抽取水库的水，则水泵站应建在（sin15°=0.2588，cos15°=0.9659，tan15°=0.2679）（）A．A处B．P处C．Q处D．A、P、Q均可4．宏光学校有一面积为100米2的正方形展厅，计划铺满统一大小的正方形地板砖，现市场上有大、小两种规格产品：大地板砖对角线长为50cm，每块0.8元；小地板砖对角线长为40cm，每块0.6元，甲公司的优惠办法是：凡购买大地板砖700块以上者给予9折优惠，凡购买小地板砖1000块以上者给予7折优惠；乙公司的优惠办法是：凡购买700元以上者，不管购买大块还是小块均按8折优惠．在质量、服务条件相同的情况下，为使学校支付的费用最少，请你为该校选择最佳购买方案（）A．到甲公司购买大块地板砖B．到乙公司购买大块地板砖C．到甲公司购买小块地板砖D．到乙公司购买小块地板砖5．如图4，在某条公路上，从里程数8m开始到4000m止，每隔8m将树与灯按图中的规则设立：在里程数8m处种一棵树，在16m处立一盏灯，在24m处种一棵树（相邻的树与树、树与灯之间的距离都是8米）……，且每两盏灯之间的距离相等．依此规则，下列里程数800m~824m之间树与灯的排列顺序中正确的是（）二、填空题（每小题6分，共30分）6．王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第一年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下10个成熟的西瓜，称重如下：西瓜质量（单位：千克）5.55.45.04.94.64.3西瓜个数（单位：个）123211根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是千克．7．你是否用电脑进行过图案设计？图5（1）是小明在电脑上设计的小房子，然后他又进行变化，得到图5（2）；小亮也在电脑上设计了一个图案，如图5（3），如果小亮也按小明变化图形时的规律对图5（3）进行变化，得到的图案是（画出简图）．8．某希望小学刚刚建起，田径场还没建好，秋季运动会时，临时设置简易跑道如图6所示，两端由两个半圆组成，一周约250米，在一次400米跑比赛中，第一道从起点A要跑一圈半到终点C．第二道终点不变，且中途不准抢道（每道宽1米）．为公平起见，第二跑道起点B应比第一跑道向前移动．9．自行车轮胎安装在前轮上行驶6000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶4000千米．为了行驶尽可能远的路程，如果采用当自行车行驶一定路程后将前、后轮胎调换使用的方法，那么安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶千米．10．已知，如图7，斜坡PQ坡度为41:3i，坡脚Q旁的点N处有一棵大树MN．近中午的某个时刻，太阳光线正好与斜坡PQ垂直，光线将树顶M的影子照射在斜坡PQ上的点A处．如果AQ=4米，NQ=1米，则大树MN的高度为．三、解答题（本大题共60分）11．（本题10分）判断决策：三个无线电厂家在广告中都声称，它们的半导体收音机产品在正常情况下，产品的平均寿命是8年，商品检验部门为了检查他们宣传的真实性，对三个厂家出售的半导体收音机寿命进行了抽样统计，结果如下(单位：年)：甲厂：3、4、5、5、5、7、9、10、12、13、15；乙厂：3、3、4、5、5、6、8、8、8、10、11；丙厂：3、3、4、4、4、8、9、10、11、12、13；请你利用所学统计知识，对上述数据进行分析并回答以下问题：（1）这三个厂家的广告，分别利用了哪一种反映数据集中趋势的特征数？（2）如果你是顾客，应选购哪个厂家的产品？为什么？12．（本题15分）方案设计：东风汽车租赁公司共有30辆出租汽车，其中甲型汽车20辆，乙型汽车10辆．现将这30辆汽车租赁给A、B两地的旅游公司，其中20辆派往A地，10辆派往B地，两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天价格如下表：每辆甲型车租金（元/天）每辆乙型车租金（元/天）A地1000800B地900600（1）设派往A地的乙型汽车x辆，租赁公司这30辆汽车一天共获得的租金为y（元），求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）若要使租赁公司这30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26800元，请你说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提出合理的分派方案．13．（本题15分）实践应用：下承式混凝土连续拱圈梁组合桥，其桥面上有三对抛物线形拱圈．图8（1）是其中一个拱圈的实物照片，据有关资料记载此拱圈高AB为10.0m（含拱圈厚度和拉杆长度），横向分跨CD为40.0m．（1）试在示意图（图8（2））中建立适当的直角坐标系，求出拱圈外沿抛物线的解析式；（2）在桥面M（BC的中点）处装有一盏路灯(P点)，为了保障安全，规定路灯距拱圈的距离PN不得少于1.1m，试求路灯支柱PM的最低高度．（结果精确到0.1m）14．（本题20分）归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：（1）如图9，已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？（2）如图10，将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图11）？请说明理由．（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．四、开放题（本题30分）15．杨子晚报报道《你家用“峰谷电”合不合算？》：“峰谷电”的含义是这样的，每天8∶00到22∶00用电每千瓦时是0.56元（峰电）；22∶00至次日8∶00每千瓦时是0.28元（谷电）．注：平时居民用电每千瓦时是0.52元．（1）根据你家的平时用电情况，算一算，你家用这样的“峰谷电”合算吗？（2）请根据“峰谷电”的使用，编拟一道数学实际应用问题，并给出解题过程，注明用的什么数学知识．第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题（A）卷参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1．B2．C3．C4．C5．D二、填空题（每小题5分，共30分）6．31257．8．2π米9．480010．8米三、解答题（每小题15分，共60分）11．解：（1）因为甲厂的收音机寿命的平均数是8年，众数是5年，中位数是7年；乙厂的收音机寿命的平均数约是6.45年，众数是8年，中位数是6年；丙厂的收音机寿命的平均数约是7.36年，众数是4年，中位数是8年．······················································6分所以，甲厂选用平均数，乙厂选用众数，丙厂选用中位数；····································8分（2）因为甲厂收音机的平均寿命比乙厂、丙厂的都高，因此，顾客应选购甲厂的产品．·································10分12．解：（1）1000(20)900800600(10)26000100(010)yxxxxxx≤≤；·································6分（2）依题意，得2600010026800x≥，又因为010x≤≤，∴810x≤≤．因为x是整数，∴x8，9，10，方案有3种．····················································9分方案1：A地派甲型车12辆，乙型车8辆；B地派甲型车8辆，乙型车2辆；方案2：A地派甲型车11辆，乙型车9辆；B地派甲型车9辆，乙型车1辆；方案3：A地派甲型车10辆，乙型车10辆；B地派甲型车10辆．·························12分（3）∵26000100yx是一次函数，且1000k，∴y随x的增大而增大．∴当10x时，这30辆车每天获得的租金最多．∴合理的分配方案是A地派甲型车10辆，乙型车10辆；B地派甲型车10辆．·········15分13．（1）如右图，以A为坐标原点，BA所在直线为y轴建立直角坐标系xAy，因拱圈外沿所在的抛物线过原点，且以y轴为对称轴，故可设抛物线解析式为：2yax，·················································4分由题意抛物线过点(2010)D，，代入得140a，故拱圈外沿抛物线的解析式为：2140yx．································································································8分（2）设(10)Nk，，则：21(10)2.5(m)40k，∴107.5(m)MNk，············································································12分∴7.51.18.6PMMNPN≥（m），即路灯支柱PM的最低高度为8.6米．（其余解法可类似给分）．·····························15分14．解：（1）当正三角形ABC向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是三条等弧，所以其中心O经过的路程为：120π32π180RR．·························································3分（2）中心O经过的路程为90π42π180RR．······················································6分（3）当n边形向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是n条等弧，这些弧的半径为R，所对的圆心角为360n，所以中心O经过的路程为360π2π180RnnR．····················10分（4）是定值2πR，理由如下：在△ABC中，设ABC，，，△ABC的外接圆⊙O的半径为R，把△ABC沿直线l向右翻滚一周时，其外心O经过的路线是三条弧，当AC边与直线l重合时，C与C重合，A与A重合，B与B重合，连接CO、CO，则ACOACO，所以180OCOACA，所以(180)π180Rl，同理，另两条弧长分别为：(180)π180R，(180)π180R，所以外心O所经过的路程为2πR．·······················16分通过以上猜想可得结论为：把圆内接多边形翻滚一周时，多边形的外心所经过的路程是一个定值．··········